Бесплатный фрагмент - Все науки. №4, 2024

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О РАССМОТРЕНИИ ЯВЛЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА С ПЕРЕМЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ СЕРДЕЧНИКА

УДК 531/534

Юсупова Анора Каримовна

Кандидат физико-математических наук, профессор
Ферганский государственный университет, Фергана, Узбекистан
Алиев Ибратжон Хатамович
Генеральный директор Electron Laboratory LLC, Президент Научной школы «Электрон»

Electron Laboratory LLC, Маргилан, Узбекистан

Аннотация. В настоящем исследовании был рассмотрен метод анализа явлений взаимодействия электромагнита с различными объектами при условии введения в качестве переменной величины размеры его ферромагнитного сердечника. Анализ произведён посредством использования уравнений Максвелла с решением дифференциального уравнения первой степени во множественных переменных относительно электрического поля с учётом векторного оператора Наббла. В результате исследования получена результирующая функция, ранее зависимая от вектора магнитной индукции и, в частности, от индуктивности, в результате зависимая от множественных переменных и непосредственных показателей электромагнита, положения его и зондового объекта в пространстве. А также дано заключение установлена зависимость между величиной силы взаимодействия и переменными размерами сердечника.

Ключевые слова: электромагнит, ферромагнитный сердечник, оператор Наббла, уравнения Максвелла, электромагнитное поле.

Abstract. In this study, a method for analyzing the phenomena of interaction of an electromagnet with various objects was considered, provided that the dimensions of its ferromagnetic core were introduced as a variable. The analysis was performed using Maxwell’s equations with the solution of a differential equation of the first degree in multiple variables relative to the electric field, taking into account the Nabble vector operator. As a result of the study, a resulting function was obtained, previously dependent on the magnetic induction vector and, in particular, on the inductance, as a result dependent on multiple variables and direct indicators of the electromagnet, its position and the probe object in space. A conclusion was also given: a relationship was established between the magnitude of the interaction force and the variable dimensions of the core.

Keywords: electromagnet, ferromagnetic core, Nabble operator, Maxwell’s equations, electromagnetic field.

Annotatsiya. Ushbu tadqiqotda elektromagnitning turli ob’ektlar bilan o’zaro ta’sir qilish hodisalarini tahlil qilish usuli ko’rib chiqildi, agar uning ferromagnit yadrosining o’lchamlari o’zgaruvchan sifatida kiritilgan bo’lsa. Tahlil Nubble vektor operatorini hisobga olgan holda elektr maydoniga nisbatan bir nechta o’zgaruvchilarda birinchi darajali differentsial tenglamaning yechimi bilan Maksvell tenglamalari yordamida amalga oshiriladi. Tadqiqot natijasida ilgari magnit induksiya vektoriga va xususan, induktivlikka bog’liq bo’lgan natijada ko’p o’zgaruvchilarga va elektromagnitning to’g’ridan-to’g’ri ko’rsatkichlariga, uning holatiga va kosmosdagi zond ob’ektiga bog’liq bo’lgan natijaga erishildi.. Shuningdek, xulosa chiqariladi va o’zaro ta’sir kuchining kattaligi va yadroning o’zgaruvchan o’lchamlari o’rtasida bog’liqlik o’rnatildi.

Kalit so’zlar: elektromagnit, ferromagnit yadro, Nubble operatori, Maksvell tenglamalari, elektromagnit maydon.

Введение

Использование электромагнитов в современном мире носит масштабных характер. Большое количество подобных устройств в настоящее время используется для переноса грузов на различные расстояния, благодаря чему создаётся необходимость в организации различного рода конструкции и методов совершенствования каждой из этих конструкций электромагнитов. Заметив, что электромагнитом называется устройство создающее магнитное поле вокруг себя с определяемой индуктивностью и вектором магнитной индукции при прохождении через себя известного электрического тока, важно отметить применение методов совершенствования, основанные на изначальных закономерностях в физике электромагнитов и электромагнетизма.

Наряду с вышеуказанным, укажем некоторую терминологию, а именно факт того, что электромагнит состоит из внешней обмотки, где в качестве сердечника чаще всего выступает ферромагнитных сердечник, что позволяет при прохождении электрического тока принимать свойства магнита. Это явление основывается на том условии, что при прохождении электрического тока через обмотку, каждая часть проволоки заряжается электрическим переменным полем, что приводит к движению зарядов в обмотке. Переменное электрическое поле приводит к образованию переменного магнитного поля, которое поддерживается также и поддерживаемым со стороны разности потенциалом переменным электрическим полем.

К тому же, важно отметить, что при создании переменного магнитного поля, которое по величине меньше электрического поля, переменное электрическое поле в результате вновь организует более малое противоположное первому переменное электрическое поле, которое вновь порождает переменное паразитирующее противоположное магнитное поле, таким образом создавая цепочку из переменных электрических и магнитных полей, чередующиеся между собой и бесконечно убывающие. Объяснение явлений с классическим электромагнитом известны и рассмотрены неоднократно, однако, фактор того, что не рассмотрен вариант с переменными размерами и показателями сердечника делает необходимость рассмотрения настоящего вопроса актуальной.

Материалы и методы

В настоящем исследовании использованы методы анализа, посредством создания физико-математической модели явлений, с последующем выводом функции после решения дифференциальных уравнений в частных производных от многих переменных второго порядка.

Исследование

Во время действия электромагнита начинает действовать при рассмотрении заряда, сила Лоренца (1) и сила Ампера (2), полученные эмпирически.

В данном случае, наглядно можно заметить зависимость обоих сил от вектора магнитной индукции, а также фактор того, что, в частности, выполняется (3).

Поскольку в анализе рассматривается случай с макрообъектами, уместно принять в качестве функции определения силы взаимодействия между электромагнитом и объектом в качестве (2), где принимается некоторое условие. Во время рассмотрения электромагнита, векторы его индукции исходят из одного из полюсов, замыкаясь на втором полюсе, при этом величина вектора магнитной индукции рядом с катушкой изменяется, выражаясь в качестве отдельной функции. Заметив, что полюсом есть точка, из которой расходятся и сходятся векторы магнитной индукции, по своему координатному расположению устремляющаяся к концу ферромагнитного сердечника электромагнита.

Величина вектора магнитной индукции при постоянной величине тока и витков, в центре сердечника составляет (4).

Откуда можно положить зависимость между магнитной проницаемостью сердечника и вектором магнитной индукции, а также над величиной индуктивности (5).

И откуда можно положить выражение для объёма катушки (6).

Заметив в данном случае, что важно учитывать, что противодействовать искомой силе будет и сила, создаваемая электрическим полем и токов Фуко в однородном сердечнике, важные для учёта после нахождения результирующей функции. Из представленных показателей стало очевидно, что необходимо найти функцию для вектора магнитной индукции, зависимая от электрического поля и его показателей, после чего величина для искомой силы в зависимости от расстояния может быть найдена посредством создания математической диаграммы от математического ожидания.

Для нахождения искомой функции достаточно воспользоваться эмпирическим законом электромагнитной индукции Фарадея (7), откуда выводиться второе уравнение Максвелла для зависимости переменного магнитного поля для образования вихревого электрического поля (8).

Что для трёхмерного случая в декартовой системе координат можно представить в виде (9).

Функция для электрического поля является известной и задаваемой (10), откуда левое выражение легко определяемо и может быть задано в качестве некоторой функции (12), откуда легко выражается выражение для вектора магнитной индукции (13) и уже из неё выражение для искомой силы (14).

Откуда уместно заметить для единичного случая (11).

Что можно преобразовать, как (15).

Таким образом была выведена конечная результирующая функция, зависимая от указываемых координат. Исходя из полученных результатов можно представить визуализацию функции в качестве диаграммы и физико-математической трёхмерной и зависимой по времени модели, а также за счёт того, что в описании не были учтены некоторые внешние факторы внешней среды, можно представить вероятностную форму функции (16), с учётом поправок на токи Фуко (17), введя специальную калибровочную-вероятностную функцию, определяемая эмпирически.

Откуда можно легко найти математическое ожидание (18—19) и дисперсию (20) настоящей переменной величины.

Откуда (21).

Таким образом, была получена формула для вычисления силы взаимодействия с учётом абсолютно всех вероятностных случаев и исходов во время анализа, представляясь в качестве результирующей формулы (21).

Заключение

В результате осуществлённого теоретического анализа явления действия электромагнита с учётом различных переменных величин с учётом положения электромагнита, его собственных параметров, величины силы тока и напряжения в обмотке, прочих вероятностных показателей и поправочных констант, была получена результирующая формула. Которая полноценно описывает величину силы взаимодействия между электромагнитом и объектом с переменными размерами ферромагнитного сердечника. Было также показано, что фактор изменения ферромагнитного сердечника электромагнита может обладать переменно величиной размера, что в свою очередь обуславливается изменением области действия электрического поля, организуемая во время прохождения электрического тока в обмотке.

Наряду с прочим, было введено понятие полюсов с их координатными показателями, в результате из полученной формулы наглядно демонстрируя, что увеличение размером сердечника с увеличением степени корреляции с направлением векторов магнитной индукции у полюсов, приводит к увеличению величины силы взаимодействия силы электромагнита с металлическим объектом.

Использованная литература

1. T. Makiuchi, T. Hioki, H. Shimizu, K. Hoshi, M. Elyasi, K. Yamamoto, N. Yokoi, A. A. Serga, B. Hillebrands, G. E. W. Bauer & E. Saitoh. Persistent magnetic coherence in magnets. Nature Materials (2024)

2. Hanan Herzig Sheinfux, Lorenzo Orsini, Minwoo Jung, Iacopo Torre, Matteo Ceccanti, Simone Marconi, Rinu Maniyara, David Barcons Ruiz, Alexander Hötger, Ricardo Bertini, Sebastián Castilla, Niels C. H. Hesp, Eli Janzen, Alexander Holleitner, Valerio Pruneri, James H. Edgar, Gennady Shvets & Frank H. L. Koppens. High-quality nanocavities through multimodal confinement of hyperbolic polaritons in hexagonal boron nitride. Nature Materials (2024)

TOR TEBRANISH TENGLAMASI UCHUN QO‘YILGAN JAMLANGAN MANBALI MASALALARNI SONLI YECHISH

УДК 519.2/.6

Murodov Sarvarbek Xurshidjon o‘g‘li

Farg‘ona Davlat Universiteti Ⅳ bosqich bakalavr talabasi

ANNOTATSIYA. Mazkur maqolada tor tebranish tenglamasi, umumlashgan funksiya va uning xossalari, giperbolik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasini yechish usullari, Dirakning delta funksiyasi boshlang‘ich shart sifatida qatnashgan tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasini yechish yoritilgan.

Kalit so‘zlar: Funksiya tashuvchisi, finit funksiya, asosiy funksiyalar fazosi, umumlashgan funksiyalar fazosi, Dirakning delta funksiyasi, Xevisaydning tetta funksiyasi, giperbolik turdagi tenglama, tor tebranish tenglamasi, manbasi jamlangan Koshi masalasi.

ANNOTATION. This article describes the narrow oscillation equation, the generalized function and its properties, methods of solving the Cauchy problem for hyperbolic type equations, solving the Cauchy problem for the narrow oscillation equation with Dirac’s delta function as an initial condition.

Key words: Function carrier, finite function, space of basic functions, space of generalized functions, Dirac’s delta function, Heaviside’s theta function, equation of hyperbolic type, narrow vibration equation, source lumped Cauchy problem.

АННОТАЦИЯ. В статье описаны узкое уравнение колебаний, обобщенная функция и ее свойства, методы решения задачи Коши для уравнений гиперболического типа, решение задачи Коши для узкого уравнения колебаний с дельта-функцией Дирака в качестве начального условия.

Ключевые слова: носитель функции, конечная функция, пространство основных функций, пространство обобщенных функций, дельта-функция Дирака, тэта-функция Хевисайда, уравнение гиперболического типа, узкое уравнение колебаний, задача Коши с сосредоточенными источниками.

KIRISH

Bugungi kunda xalqimizning boy intellektual merosi va umumbashariy qadriyatlari, zamonaviy madaniyat, iqtisodiyot, fan, texnika va texnologiyalar asosida yetuk mutaxassislar tayyorlash tizimi ishlab chiqildi va ayni vaqtda jadal sur’atlar bilan hayotga tatbiq etilmoqda.

Ma’lumki, XXI asr barcha sohalar singari matematik-fizika yo‘nalishi uchun ham yangi masalalar qo‘ydi va ularni hal etish uchun ulkan imkoniyatlar yaratdi. Hozirgi kunda umumlashgan funksiyalar nazariyasi xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun qo‘yilgan umumlashgan va klassik masalalarni tekshirishda qulay matematik vosita bo‘lib xizmat qilmoqda. Kvant fizikasining matematik modellarini o‘rganishda matematikaning ushbu yangi sohasidan keng foydalaniladi.

Umumlashgan funksiya (taqsimot) tushunchasi fanga birinchi bo‘lib P. Dirak tomonidan 1930-yilda uning kvantomexanik tadqiqotlarida kiritilgan va bunda asosan Dirakning mashhur

funksiyasidan keng foydalanilgan. Umumlashgan funksiyalar (taqsimotlar) nazariyasining matematik asosi S.L. Sobolev tomonidan 1936-yilda qurilgan va giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi masalasini yechishda qo‘llanilgan.

TADQIQOT METODOLOGIYASI

Mazkur tadqiqotni yoritishda bir qator olimlar, tadqiqotchilar va muhandislarning mavzu doirasida olib borgan ilmiy ishlari, yaratgan o {{ʼ}} quv adabiyotlari tizimli o {{ʼ}} rganilgan. Ularning xulosa va fikrlari qiyosiy tahlil etilib, ma {{ʼ}} lumotlarni qayta ishlangan.

TAHLIL VA NATIJALAR

1. D» umumlashgan funksiyalar fazosi.

Ta’rif.

Agar supp f tashuvchi chegaralangan to‘plam bo‘lsa, u holda f umumlashgan funksiyaga finit funksiya deyiladi.

Ushbu ta’riflardan quyidagi xulosalarni chiqaramiz:

a) tashuvchidan tashqarida yotgan ixtiyoriy sohada umumlashgan funksiya nolga aylanadi, ya’ni ixtiyoriy

va

uchun

bo‘ladi.

b) f umumlashgan funksiyaning tashuvchisi faqat va faqat shunday nuqtalar to‘plamiki, bu to‘plamning ixtiyoriy nuqtasining atrofida f umumlashgan funksiya nolga aylanmaydi.

Ta’rif. Agar D fazodan olingan ixtiyoriy

funksiyalar ketma-ketligi va

funksiya uchun

a) shunday bir R> 0 musbat son mavjud bo‘lib

b) har bir

multiindeks uchun

da

bo‘lsa, u holda

funksiyalar ketma-ketligi

funksiyaga uchun D fazoda yaqinlashadi deb aytiladi va

da D fazoda

deb yoziladi.

Bunday yaqinlashish tushunchasi kiritilgan D chiziqli to‘plamga D asosiy funksiyalar fazosi deyiladi.

Ta’rif. D asosiy funksiyalar fazosida aniqlangan har qanday chiziqli uzluksiz funksionalga umumlashgan funksiya (taqsimot) deb aytiladi.

Mos belgilanishga ko‘ra f orqali funksionalni (umumlashgan funksiyani)

orqali esa asosiy funksiyani belgilab, bu f funksionalning

asosiy funksiyaga ta’siridagi qiymatini

kabi yoziladi. SHuningdek, formal ravishda umumlashgan funksiyaii f (x) ko‘rinishda ham belgilanadi, bunda x argument f funksional ta’sir qiladigan asosiy funksiyaning argumentidir.

Endi f umumlashgan funksiya ta’rifini tahlil qilamiz.

1) f umumlashgan D funksiya fazodagi funksionaldir, ya’ni har bir

asosiy funksiyaga

kompleks son mos qo‘yiladi.

2) f umumlashgan funksiya D fazodagi chiziqli funksionaldir, ya’ni agar

va

kompleks sonlar bo‘lsa, uholda

munosabat o‘rinli bo‘ladi.

1. Dirakning delta funksiyasi va uning xossalari.

Dirakning delta funksiyasi umumlashgan funksiya bo‘lib, u “ birlik funksiya» nomi bilan ham ataladi. Ushbu funksiya

bilan belgilanadi va argumentning noldan farqli barcha qiymatlarida 0 qiymatni qabul qilib, argument 0 ga teng bo‘lganda esa cheksizlikka intiladi. Ya’ni

Dirakning delta funksiyasidan

oraliqda integral olsak, integral qiymati 1 ga teng bo‘ladi, ya’ni

Ushbu funksiyaning “ birlik funksiya “ deb nomlanishi ham Dirak delta funksiyasi uchun ushbu integraldan olingan qiymat bilan bog‘liqdir.

Agar ushbu funksiyaning ko‘rinishi

kabi bo‘lsa, u holda siljigan argumentli Dirakning delta funksiyasi deyiladi (1-rasm).

Misol.

ni hisoblang.

Yechish. Ushbu ifoda uchun ham yuqorida keltirilgan

funksiyaning xossasini qo‘llaymiz. Ammo berilgan misolda Dirakning deta funksiyasi argumenti x-1 ko‘rinishda, ya’ni ushbu argument 0 ga erishishi uchun x=1 bo‘lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, ushbu belgilashdan foydalanamiz: bundan esa. Natijada ifoda ushbu holga keladi:

Bu ifoda uchun belgilashlardan foydalanib ko‘paytma hisoblansa, ushbu natijaga erishiladi:

Bu yerda,

ko‘rinishga ega bo‘lgan Xevisaydning tetta funkisyasi berilgan bo‘lsin. Aytish kerakki, ushbu funksiya umumlashgan funksiyadir, ya’ni

Shuningdek ushbu funksiya lokla integrallanuvchi funksiya hamdir:

Ushbu funkisya regulyar funksiya.

Umumlashgan funksiya hosilasi ta’rifiga ko‘ra

va

berilgan bo‘lsa, u holdab f (x) funksiya hosilasi ushbu formula orqali topiladi:

Demak,

dan ham ushbu qoida bo‘yicha hosila olsak,

Bu esa bizga tanish bo‘lgan ushbu

munosabatga qaytishga imkon beradi. Xulosa qilish mumkinki,

1. Tor tebranish tenglamasi uchun jamlangan manbali masalani yechish.

Bu yerda

— Dirak delta funksiyasi. Teskari masalada (4), (5) to {{ʻ}} g {{ʻ}} ridan-to {{ʻ}} g {{ʻ}} ri masalani yechish haqidagi qo {{ʻ}} {s {}} himcha maʼlumotlardan uzluksiz q (x) funksiyani tiklash talab qilinadi.

To‘g‘ridan-to‘g‘ri masala yechimi Dirak delta funksiyasining asosiy xususiyatidan

har qanday uzluksiz chekli

funktsiya uchun to’g’ri va Dalamber formulasidan (4), (5) muammoning umumlashtirilgan yechimi integral tenglamaning bo’lak-bo’lak uzluksiz yechimi ekanligi kelib chiqadi.

Bu yerda

— teta — Hevisayd funksiyasi:

Ma’lumki, Koshi muammosining yechimi

quyidagi Dalamber formulasi bilan beriladi:

Quyidagi ko’rinishdagi bir jinsli bo’lmagan

tenglamaning (6) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini tuzamiz:

Ushbu ifoda tebranish tenglamalarining (6) dastlabki shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidir

va funksiya bir jinsli bo’lmagan tenglamaning yechimidir.

boshlang’ich shartlarini qanoatlantirish sharti

Dastlabki masala tabiiy ravishda ikkiga bo’linadi: ulardan biri yuqorida ko’rsatilgan, ikkinchisi esa Dalamber formulasi yordamida hal qilinadi.

Natijada, biz quyidagini olamiz:

(12) formuladan foydalanib, Koshi masalalarini yechish degan xulosaga kelamiz.

Demak, (13), (14) masala yechimi integral tenglamani qanoatlantiradi, degan xulosakelib chiqadi.

Buyerda

Boshlang’ich shartlar quyidagi shaklga ega bo’lganda

(14) da

va

da, (16) tenglama quyidagi shaklni oladi:

Chunki, (17) dan quyidagib kelib chiqadi:

Umumlashganfunksiyalar nazariyasidan ma’lumki, antiderivativ —

funksiya

bu yerda

Hevisayd teta funksiyasi, C — ixtiyoriy doimiy.

Demak, bundan kelib chiqadi:

(12) dankelib chiqadiki

U holda

nuqtalar uchun (12) formuladan kelib chiqadi:

Belgilash kiritamiz

U holda (19) dan ushbu tengsizlikni olamiz

funksiya

oraliqda manfiy bo’lmagan va uzluksiz bo’lsin va u yerda tengsizlik qanoatlansin

Uholda

Gronwall lemmasidan kelib chiqadiki,

va shuning uchun

ichida

nuqtani tanlashning o’zboshimchaligini hisobgaolgan holda, biz (18) to’g’riligiga ishonch hosil qilamiz.

Tenglik (18) dan kelib chiqadiki, u (x,t) funktsiyani qo’llab-quvvatlash to’liq

domenda mavjud. Mayli

bo’lsin. Quyida biz u (x,t) funksiyani faqat D domenda ko’rib chiqamiz. (19), (15) formuladankelib chiqadiki

Lemma1. Agar biror

nuqta uchun q (x) funktsiya

oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda (20) tenglamaningyechimi mavjud.

(20) formuladan, xususan, u (x,t) funktsiya D mintaqa chegarasida doimiy va 1/2 ga tengekanligi kelib chiqadi:

1. Jamlangan manbali masalani sonli yechish

Umumlashtirilgan yechimni topish uchun (4), (5) boshlang‘ich sharti delta funksiya ko‘rinishidagi masala qo‘yildi. Bu quyidagi Gursat masalasiga ekvivalentdir: