Геометрия в сказках

Карандаш и ластик Чистюлька

Жил — был карандаш. Да-да, самый обыкновенный простой карандаш. Именно таким пользуются дети и взрослые, когда нужно что-то начертить или сделать наброски рисунка. Жил он в школе, в ящике учительского стола, в коробке с цветными карандашами. Днём он казался просто карандашом, а вот вечером …начинались чудеса. Карандаш оживал и начинал рисовать всё, что ему хотелось. Он рисовал дома, машины, людей. Всё получалось красиво и радовало глаз. Его друзья, цветные карандаши, раскрашивали рисунки. Эти изображения часто оживали и исчезали, но Карандаш не унывал. Он продолжал трудиться, потому что жить без работы не мог.

Иногда учительница находила эти рисунки. Она спрашивала учеников, кто положил свои работы в её стол, но никто не признавался. Учительница перестала обсуждать этот вопрос, потому что не хотела смущать детей. Она решила, что ученик, нарисовавший картинки, когда-нибудь сам признается. Дети любили рассматривать эти картинки и обсуждать их. Когда они это делали, учительница наблюдала за ними, но узнать автора так и не смогла.

А вскоре рисунки перестали появляться, потому что Карандаш услышал разговор учителя с учениками и начал прятать свои работы. Он не хотел становиться причиной ссор в классе. Карандаш очень любил своих маленьких друзей. Часто он помогал им изобразить мир красивее и ярче. Ребята чувствовали его заботу и очень любили пользоваться им. Только самым прилежным и трудолюбивым учительница разрешала рисовать своим карандашом.

Как-то вечером, Карандаш снова принялся за своё любимое дело.

— Что бы такое необычное нарисовать? — задумался он и нечаянно задел чистую страницу.

— Ой, надо поскорее стереть, — воскликнул Карандаш и позвал ластик Чистюльку, свою верную подружку на помощь.

— А что это тут у тебя получилось? — спросила Чистюлька, внимательно разглядывая испорченный лист. — Погоди-ка, да это же точка.

— Да, похоже на точку, сотри ее.

Вдруг появилась яркая вспышка, и раздался тоненький голосок:

— Не надо ничего стирать, ведь без точки нет ни одной геометрической фигуры.

Карандаш изумлённо произнёс:

— Ты живая, точка?! Тебя совсем плохо видно.

— Конечно, ведь точка — самая малая геометричес-кая фигура.

Затем точка предложила Карандашу нарисовать две пары очков. Когда он выполнил её просьбу, точка попрыгала вокруг них. Тут же очки стали прозрачными, совсем невидимыми. Карандаши и Чистюлька быстро надели очки и поняли, что они обладают волшебными свойствами: помогают увидеть очень маленькие предметы.

Карандаш с восхищением разглядывал необычную гостью. Точка увеличилась, став небольшим жёлтым кругом с кокетливым красным бантиком. Руками и ногами были лучи-стрелки. Глазки весело блестели, а ротик — улыбался.

Оказалось, что новую знакомую прислала Фея страны Геометрия, которая давно наблюдает за работой друзей из страны людей. Ей очень понравились рисунки Карандаша, поэтому она наложила на них заклятие оживления. Фея решила: пришла пора уточнить и расширить знания друзей о своей науке. Вот она и прислала к ним свою помощницу, наделив её волшебной силой.

Друзья внимательно слушали новую знакомую. А гостья начала с истории. Создатель геометрии Евклид, древнегреческий математик, дал четкое определение точки:

«Точка — это то, что не имеет частей». Слово точка в русском языке означало конец заточенного гусиного пера, которым писали раньше писатели. Так что оно происходит от слова «точить».

В современной геометрии принято такое определение: точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.¹

— Разрешите представиться: геометрица А. Я помощница Феи Геометрии — существо, способное повелевать геометрическими фигурами, в данном случае точками, ведь без них невозможно построить не одну геометрическую фигуру.

— Нарисуйте моих подруг-точек, пожалуйста! — попросила гостья, взмахнув ручками.

Чистюлька посмотрела на друга.

Карандаш поставил еще одну точку, вторую, третью… И тотчас на листке бумаги появились крошечные копии гостьи, только с разными головными уборами.

— Ура! — закричала А. — Вот они мои друзья. Вместе мы покажем вам удивительные превращения.

Чистюлька с интересом посмотрела на необычных гостей, а геометрица дотронулась до каждой точки — они ожили.

— У твоих друзей тоже есть имена?

— Знакомьтесь, это точка В, это точка С, точка D, точка К, точка Е и точка Р.

— А кто еще ваши друзья?

Геометрица А ничего не ответила Чистюльке, а обращаясь к подругам, скомандовала:

— Друзья, давайте поиграем. В один ряд со мной — становись!

Точки живо выстроились в ряд, да так близко, что слились в одну линию. Удивились друзья: оказывается, линия состоит из точек. А геометрица А продолжала свой рассказ.

Знаменитый математик-геометр Евклид писал, что «линия — то место, где расположены точки».

А еще Евклид определил линию как «длину без ширины». Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия.¹

— Здорово! — воскликнула. Чистюлька. — Значит, вы можете выстраиваться в любые линии?!

— Конечно, — сказала точка С.

— А какие бывают линии?

Точки сначала замолчали, потом замахали ручками.

Затем они стали рассказывать о линиях, перебивая друг друга. Из их рассказа друзья узнали, что линии бывают кривые, прямые и ломаные. А кривые и ломаные линии могут соединяться и образовывать замкнутые линии. Точки тут же стали перестраиваться, изображая линии, о которых рассказали.

— Интересно как! — воскликнула Чистюлька. — А как эти линии правильно различать?

— Кривая линия или прямая линии определяются положением составляющих их точек. Если точка передвигается без изменения направления, образуется прямая линия, если направление движения точки меняется — образуется кривая линия.

Ещё геометрица А рассказала, что прямую линию, или прямую, можно представить себе, как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна.

Наши герои внимательно слушали.

— Прямая линия всегда бесконечна? — спросил Ка-рандаш.

— Всегда! — подтвердила геометрица А.

Тут все точки вновь образовали прямую линию, вначале которой встала точка О. Теперь появилась новая фигура, которая являлась частью прямой, но была ограничена с одной стороны. Такая прямая линия имела название луч, как лучик солнышка, который спешит от солнца к земле.

Луч — множество точек прямой, лежащих по одну сторону от начальной точки O (включая саму точку O).²

² http://ru.wikipedia.org/wiki/

— А если прямую линию ограничить с двух сторон, что будет? — поинтересовалась Чистюлька.

Точки тут же перестроились, образовав новую фигуру, которую ограничили точки А и В.

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком.²

— Очень с вами интересно, — сказала геометрица А, но нам пора домой.

— Вы еще придете к нам? — спросил Карандаш.

— Конечно, но если вы без нас заскучаете, то позовите, и мы тут как тут. А лучше к нам приходите, в страну Геометрию.

— А что это такое?

— Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы², — пояснила геометрица А.

А её подруги запрыгали и запели:

«Геометрия — это наука.

Лучи, углы и отрезки.

Прямые и точки

Изучает она всегда.

Они в ней играют важную роль.

В них всей геометрии соль».

Когда гости ушли, Карандаш сказал:

— А ты любишь учиться?

Чистюлька обиделась:

— Конечно, люблю! А ты что же думаешь, если я все стираю, то не понимаю значения знаний?! Так ведь я стираю только то, что неправильно написано.

— Не волнуйся, я тебе верю. А как думаешь, ребята любят учиться?

— Думаю, любят. Не зря они ходят в школу.

— А ещё наши ребята очень честные.

— Как ты узнал об этом?

— Понимаешь, я услышал разговор учительницы с ребятами, когда она случайно нашла мои рисунки.

Чистюлька нетерпеливо посмотрела на друга.

— И о чём же они говорили?

— Подожди, подруга, не перебивай. Так вот, учительница хотела узнать, кому принадлежат рисунки. Никто из нашего класса не присвоил их, хотя могли бы.

— Я рада за наших любимых учеников. Я всегда была уверена, что они честные и порядочные дети. Жаль, что они не могут узнать правды.

— Да, я бы хотел поговорить с ними, но, к сожалению, мы, волшебные вещи, можем общаться только друг с другом, да и то без свидетелей.

— Может быть, когда-нибудь всё изменится. А ты хотел бы попасть в страну Геометрию?

— Очень, потому что геометрия — мой любимый предмет.

«Люблю я геометрию.

Готов всему учиться.

Вы ее полюбите тоже.

Вам это пригодится!»

Чистюлька весело подпрыгнула.

— Как красиво ты сказал, даже стихами.

— Уже утро, скоро звонок прозвенит. Давай скорее по местам расходиться.

В классе стало тихо.

Точкоград

На другой день, вернее, ночь, Карандаш и Чистюлька гуляли в школьном саду и вчерашний день вспоминали. Чистюлька вздохнула печально, а потом улыбнулась.

— Как замечательно всё-таки, что ты ошибся и нечаянно поставил точку.

— Хорошо ещё, что ты её не стёрла, иначе мы бы никогда не познакомились с геометрицей А и её друзьями.

— А ведь точки приглашали нас в страну Геометрию в гости. Вот бы хоть одним глазком посмотреть, как они там живут.

— Да, мне тоже хотелось бы побывать там, но как это сделать?!

— Слушай, Карандаш, мы же волшебные вещи, зна-чит, как-то туда можем попасть.

Вдруг раздался голос:

— Попасть в нашу страну просто, надо только очень сильно захотеть.

Карандаш взволнованно посмотрел на Чистюльку.

— Поняла!? Представь, что мы уже в этой загадоч -ной стране. Только волшебные очки не забудь, а то ничего не увидишь.

Друзья закрыли глаза и сосредоточились на своём желании.

Когда они осмотрелись, то поняли, что находятся в незнакомом месте.

Карандаш взял за руку подругу.

— Смотри, Чистюлька, это город. Какой необычный. А цветов сколько!

Друзья прошли немного вперёд.

Чистюлька посмотрела по сторонам:

— Ты прав, очень красиво! Только жителей не видно.

— Интересно, кто здесь живёт?

Они прошли мимо маленьких аккуратных домиков, утопающих в зелени и вышли к высокому зданию, на котором висела большая вывеска.

Чистюлька тут же захотела её прочесть и потянула друга подойти поближе, но Карандаш остановил её.

— Смотри, к зданию двигаются геометрические фи-гуры.

— Какие?

— Издалека не видно.

Когда они подошли ближе, кто-то окликнул их:

— Карандаш! Чистюлька! Как я рада видеть вас.

К ним спешила геометрица А. Чистюлька тут же подбежала и обняла её.

— Здравствуй, геометрица А! Значит, мы всё-таки попали в страну Геометрию?!

— Попали, попали. Кто хочет, тот всегда добивается желаемого.

Карандаш подошёл ближе к девочкам.

— Приветствую тебя, геометрица А. Как называется этот город?

— Это наш город, Город Точек или Точкоград.

— А куда вы все спешите?

— Мы идём вот в это здание на работу.

— «Дом со-зи-да-ни-я», — по слогам прочитала Чистюлька. — А что вы там созидаете?

— Хотите посмотреть?

Друзья кивнули.

— Тогда идите за мной, и сами всё увидите.

Все наши герои вошли в красивое здание в несколько этажей с разноцветными башнями. Пройдя мимо дверей по широкому коридору, друзья оказались в светлой комнате с множеством столов. Возле каждого из них копошились точки.

Остановившись возле ближайшего стола, Карандаш и Чистюлька внимательно наблюдали за работой двух геометриц. Вот одна из них прыгнула на лист бумаги, расстеленный во весь стол. На листе появилась её маленькая точка. Геометрица прыгнула ещё раз, затем отодвинулась и за работу принялась её подруга. Она прыгнула между двумя изображениями. Затем геометрицы разошлись в разные стороны и стали прыгать навстречу друг другу. Изумленные гости не могли вымолвить ни слова. Геометрицы прыгали всё быстрее и быстрее и напевали весёлую песенку:

«Точка, точка, круг, овал-

Человечка нарисовал». А потом:

«Точка, точка, запятая, минус — рожица кривая

Ручки, ножки, огуречик — вот и вышел человечек».

Друзья подошли ближе и увидели, что на листе бумаги, действительно, появился контур фигуры, напоминающей смешного человечка.

Карандаш остановился возле стола, где геометрица прыгали по очереди и всегда точно одна рядом с другой.

— Интересно наблюдать, как получается прямая линия, — сказал Карандаш Чистюльке и подошёл ближе.

— Здесь создали несколько прямых линий, правда? — обратился он к геометрицам.

Вместо ответа они отодвинулись в сторону, и он действительно увидел прямые линии.

— Эти линии все оживут? — спросил Карандаш у геометрицы А.

— Некоторые оживут и поселятся в Городе Линий, а другие будут находиться в замке Феи до тех пор, пока не понадобятся кому-то.

— А как будет известно, что линии нужны?

— Ты забыл, что у нас не простая страна, а волшеб-ная. Наша Фея наделена особой силой провидения и пред-сказания. Если где-то возникнет необходимость в них, на-ши линии тут же окажутся в нужном месте.

— А для людей линии я рисую, — сказал Карандаш с гордостью.

— Да, без карандаша трудно нарисовать что-то, но в геометрии линии не рисуют, а чертят. Но иногда линии не нужно чертить, можно создать сразу геометрическую фигуру.

— Как это?

— Ты забыл о современных технологиях.

— Точно, есть ведь ещё компьютерная графика. Я пытаюсь рисовать на компьютере.

В это время геометрицы с первого стола подняли свой лист, понесли его к окошку в стене и положили на подоконник. Лист тут же исчез.

— Куда делся лист? — поинтересовалась Чистюлька у геометрицы А.

— Листы отправляются в замок к Фее.

— Как бы хотелось попасть в этот замок и увидеть вашу Фею.

Геометрица А задумчиво посмотрела на друзей и сказала:

— Я узнаю, возможно, ли это, — и вышла.

Через несколько минут она вернулась.

— Сейчас Фея занята, но она обязательно примет вас сегодня. А пока продолжим экскурсию.

Чистюлька подошла к соседнему столу, где геометрицы прыгали на лист бумаги в разных местах. Чистюлька долго стояла около них, потом спросила у геометрицы А:

— Интересно, что может получиться из такого беспорядочного движения?

— Получится множество точек. Разве ты не слышала о множествах?

— Нет, не слышала.

— Вам надо срочно посетить нашу геометрическую школу.

Чистюлька с мольбой посмотрела на Карандаша.

— Вот видишь, подруга, оказывается, везде нужно учиться.

Наконец, Чистюлька обрела дар слова.

— Кого же учат в вашей школе?

— Всех, кто захочет, ведь каждая фигура, линия или точка умеет применять только свои определённые функции, но знать нам нужно и многое другое. Вот для этого и существует наша школа. Хотите попасть туда?

— Хотим, хотим, — закричала Чистюлька за себя и за друга.

Геометрица А провела их в пустую комнату, где было много небольших возвышений. На стене располагался щит с кнопками.

А подошла, нажала на крайнюю слева кнопку. Одно из круглых возвышений начало медленно крутиться. Геометрица указала на него.

— Вставайте сюда.

Они оказались в другом месте: вестибюле* (помещение перед входом во внутренние части здания) просторного высокого здания. Друзья поняли, что это школа.

Геометрица А исчезла, но не успели они испугаться, как она появилась.

— Сейчас я вас провожу в класс, где сегодня изучают множества.

Друзья очень тихо вошли в указанный класс и сели за последнюю парту. Они с интересом смотрели по сторонам. За партами сидели разные геометрические фигуры: и точки, и треугольники, и прямоугольники. Учителем же был человек в чёрной одежде с седой бородой. Он не смотрел на класс. Всё время казалось, что он спит и ничего не видит, но только Чистюлька подняла руку, как он тут же спросил:

— Что интересует наших гостей?

— Нас интересуют множества.

— Треугольник, что ты знаешь о множествах? — спросил учитель.

Треугольник рассказывал громко, чётко и понятно. Наши путешественники узнали много нового и интересного. Например, что под множеством в математике понимают какую-либо совокупность предметов или понятий. В математике множество может состоять из одного, двух или нескольких предметов. Предметы, из которых состоит множество, называются элементами множества. Говорят, что эти элементы принадлежат множеству. Множество, не содержащее никаких элементов, называют пустым.

Чистюлька внимательно выслушала ответ, а потом спросила:

— А множество точек бывает?

Теперь учитель попросил к доске ученицу.

Точка О рассказала, что луч — множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки O (включая саму точку O). ²

Объединение открытого луча с его началом — точкой O — называется лучом с началом в O.

OA — обозначение луча с началом O, содержащего точку A.

Лучами также называют бесконечные промежутки (полупрямые) числовой прямой.²

Тут встала точка М и рассказала о графическом изображении множеств с помощью диаграмм. Она вышла к доске и нарисовала три круга: в одном было две точки, в другом — очень много, так много что их трудно было пересчитать, в третьем не было ничего. Друзья догадались, что в последнем круге пустое множество.

Точка N показала на доске пересечение множеств, когда два круга имеют общую часть, где расположены геометрические фигуры, принадлежащее, как множеству А так и множеству В.

— Если вы хотите узнать о множествах подробнее — вам необходимо посетить Город Множественный.

Гости поблагодарили учителя и учеников за новые знания.

Когда друзья вышли из класса, геометрица А ждала их в коридоре.

— Фея приглашает вас в свой замок.

Карандаш и Чистюлька прошли за геометрицей в комнату, где были необычные лифты, один из которых перенёс их в нужное место.

Замок Феи страны Геометрии был в розовых тонах с башенками и окнами, которые, казалось, смотрели на тебя и о чём-то спрашивали. Ворота во двор открыты.

Геометрица ввела друзей в замок, провела в кабинет, где их уже ждала Фея.

Фея Линиана сидела за большим столом и работала на компьютере. Чистюлька шепнула другу:

— Я думала, феи пользуются только волшебством.

Хозяйка посмотрела на друзей, улыбнулась.

— Надо идти в ногу со временем всем, даже феям. Что бы вы хотели узнать у меня, мои милые друзья?

Карандаш несмело начал:

— Мы бы хотели посмотреть, где у вас хранятся работы из Дома созидания.

— Хорошо. — Линиана чуть топнула ногой, и все оказались в комнате, где на полках лежали разные геометрические фигуры.

Приглядевшись, гости поняли, что они лежали в определённом порядке. У одной стены — круги и овалы, у другой — треугольники, справа — звёздочки и т. д. Все фигуры лежали неподвижно, казалось, что они спят.