Бесплатный фрагмент - Восхождение к вершине гиперкуба

Часть первая для школьников 12+

Предисловие

Посвящается нашим детям и внукам

Могут ли обычные школьники сделать научное открытие? Какой должна быть современная школа? Кого, чему и как учить? — ответы на эти вопросы имеют важное значение.

Сократите в микрорайоне или посёлке школу — и сразу получите рост преступности, причём не только подростковой. Выходит, что без воспитания подрастающего поколения нет будущего. Сейчас в мире происходит борьба за умы и души молодых людей через Интернет и мобильные устройства. Забыть собственную историю и достижения, засорить мозги людей мусором, «подсадить на иглу» развлекательных информационных потоков, оболванить, заставить купить ненужное, но престижное, сузить выбор до мнений непоколебимых экспертов и «авторитетов», набравших миллионы «лайков» — вот задача наших «Западных друзей».

Наше общество становится очень жёстким и консервативным в выражении свободы собственного мнения: всё заранее уже решено, выбор уже сделан на уровне подсознания. В качестве компенсации предоставляется лишь свобода в изощрённых пороках: переплюнь всех, опереди и шокируй даже ценой риска для жизни.

Вызов, который сделан в этой книге, показывает на одном конкретном примере, как этому можно и нужно противостоять. Автор поставил задачу развеять господствующие мифы о научном превосходстве стран большого Запада, о научной этике, о беспристрастности и просветительской миссии по всей Земле. Проще говоря, есть «правильные народы», обучающие отсталые, «неправильные народы» — и таков порядок вещей. На деле оказывается совсем не так.

Просто формулируемая Великая теорема Ферма и её наглядное доказательство, понятное всем, кто имеет лишь школьную подготовку, стала своего рода тестом на несостоятельность этих мифов. История для адептов Большого Запада вышла совсем не красивая и даже комичная.

Но пройдёт ещё не мало времени, прежде, чем простое доказательство Великой теоремы Ферма, будет признано миллиардами обычных людей — слишком силён поток дезинформации из разряда оболванивания потребителя.

Но даже, если эта книга заставит думать самостоятельно всего несколько человек и будет стимулировать их во всём следовать собственному выбору, уважать свой народ и свою историю, то автор будет считать свою задачу исполненной.

России. Новосибирск. Сургут. 2020 — 2021 г.

История Великой теоремы

Великая Теорема Ферма была сформулирована Пьером де Ферма в 1637 г., она гласит, что уравнение:

an + bn = cn не имеет решений в целых, кроме нулевых значений, при n> 2

Когда n = 2, мы имеем дело с привычной теоремой Пифагора, при этом существует бесконечное число решений уравнения в целых числах — Пифагоровы тройки. Примеры Пифагоровых троек известны:

(3, 4, 5); (5, 12, 13); (15, 8, 17) и др.

Со времён Евклида был найден целый ряд способов генерации Пифагоровых троек. Из школьного куса математики легко понять, что Пифагоровы тройки имеют наглядную интерпретацию в терминах геометрии рациональных точек на единичной окружности. Эйлер в 1770 году доказал теорему (1) для случая n=3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n=5, Ламе — для n=7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100.

В сентябре 1994 года профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс доказал Великую теорему, для всех n, но это доказательство, насчитывающее свыше ста сорока страниц, понятных лишь профильным специалистам в теории чисел, нельзя уместить на полях перевода «Арифметики» Диофанта, «если бы они были немного шире», по выражению самого Пьера де Ферма, утверждавшего, что он «нашёл поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его».

Необычайная красота и лаконичность формулировки Великой теоремы Ферма заставляют искать наглядное решение. Итак, для n ≥ 3 Пифагоровых троек найти ещё никому не удалось. Почему?

Глава 1 Необычная встреча

— Итак, Матвей, за что Вы его так сильно ударили? — обратился профессор Борщов со своей обычной доброй улыбкой. За столом в комнате примирения сидели подравшиеся одноклассники: Матвей Строев и Сергей Тагильцев.

— Я его не ударил, а бросил через бедро… с подсечкой — чуть смущёно ответил Матвей, — но я не ожидал, что он упадёт так неудачно.

— Так за что? — уже строже переспросил Борщов.

— Ну он оскорбил меня… он назвал меня китайцем — Матвей посмотрел на Сергея с сожалением.

— А это было действительно так? — обратился Борщов к Сергею.

— Да, мы спорили о музыке, о Рей Чарльзе, ну о том самом слепом пианисте из США и мы… то есть я, неожиданно перешли на личности — Сергей потупился и замолчал. — ну словом, я больно и неудачно упал от его приёма. Я уже не обижаюсь на Матвея.

— Я тоже, — слегка улыбнувшись сказал Матвей.

Борщов облеченно откинулся на стуле и резюмировал:

— Таким образом инцидент исчерпан?

— Да, можно считать исчерпанным, — ответили разом Матвей и Сергей, оба они уже посматривали на дверь комнаты.

— Можно мне выразить Вам свои пожелание на будущее? — остановил их жестом Борщов.

— Да, — последовал общий ответ мальчиков.

— Нужно уметь контролировать свои эмоции. Ответ должен быть соразмерен. Лучше ограничиться шуткой, без применения физической силы, потому что даже ненароком можно покалечить человека и всю жизнь потом каяться. — Борщов посмотрел на Матвея. — А словом можно и убить… это я к тому, что есть такие обидные слова которые вспыхивают как порох, — Борщов уже смотрел в сторону Сергея. — пожар легче предупредить, чем потушить. Словом, каждый из Вас извлёк из этого ЧП свой урок. Надеюсь, что обид не осталось?

— Да, мы теперь вместе будем ходить заниматься борьбой — ответил Сергей с улыбкой.

— Вот и отлично! — облегченно подытожил Борщов. — Я не буду рекомендовать на педагогическом совете прекратить дело примирением. И ещё минутку, коллеги, распишитесь в этом журнале… здесь и вот здесь.

Матвей и Сергей стремительно проследовали на второй завтрак, который начинался после второй пары занятий аккуратно в 12:20 в фойе школы.

— Выходит что, Гангрена всё таки подала на меня докладную с рекомендацией об отчислении из школы? — Матвей, изобразил на ходу рукой полет самолёта обратно домой к родителям.

— Скорее всего, — пожав плечами быстро ответил Сергей. И оба одноклассника продиффундировали через толпу к столам, где были расставлены стаканы с чаем и булочками.

Гангреной одноклассники называли между собой классного руководителя и одновременно преподавателя математики девятого-четвертого класса физико-математической школы-интерната, где обучались школьники девятых — одиннадцатых классов, победители олимпиад по физике, математике, химии. Поскольку классов было много, вместо буквенного обозначения А, Б, В, Г использовались цифры: 91, 92, 93, … 101, 102 … вплоть до тринадцатого-четырнадцатого.

Матвей был призером олимпиады по физике увлечённым трудоголиком и одновременно страшным разгильдяем, как его метко охарактеризовала Генриетта Григорьевна или просто Гангрена. Она упрекала Матвея в «индифферентном отношением к общественной жизни в классе», несвоевременной сдаче зачётов и лабораторных работ, в нарушении режима самоподготовки, как например игра с одноклассниками в карты на расстеленном на полу одеяле — Ведь мы прежде чисто вымыли пол! — оправдывался Матвей, просто захотелось немного вспомнить о доме!… — Но разве этот аргумент имел хоть какое-нибудь значение для Гангрены? Именно в период обострения воспитательной работы Гангрена обнаружила на столе Матвея тетрадь с торчащей стопкой листов. Вынув их для приведения тетради в приличествующий вид, Гангрена пробежала по диагонали записи Матвея и громко рассмеялась: А он ещё увлекается такими бессмыслицами! Ещё один горе-математик пытается штурмовать Великую теорему Ферма! За этим последовало наставление о необходимости прилежной учёбы. Но Матвей не сдавался, он пошёл на принцип и заявил, что скорее бросит физматшколу, чем откажется от поиска краткого доказательства Великой теоремы Ферма! Ну-ну, мы это ещё посмотрим, … математик — последовал ехидный ответ Гангрены. Так было заключено это кабальное для Матвея пари. Как это ни удивительно, но близкие друзья поддержали выбор Матвея, хотя и считали его пари чистым безумством.

Профессор Борщов преподавал в физико-математической школе, вызывал уважение ребят, потому что умел надёжно хранить их секреты, никогда не выступал с менторских позиций, и даже если ему приходила в голову мысль дать кому- то совет, он делал это только с разрешения собеседника. Школьников профессор называл уважительно на «Вы», как себе равных, и никогда им не «тыкал». Одновременно ребята не чувствовали дистанции, что называется generation gap (конфликта поколений) с профессором в два с половиной раза более старшего возраста, чем любой из них. В его кабинете было уютно и уже стояла маленькая новогодняя ёлка в преддверии праздника. Примирительная процедура произошла как раз в накануне зимней сессии школьников. Борщов проводил время от времени такие школьные медиации, «чтобы не потерять форму», как любил объяснять он коллегам.

Картины прошедшей примирительной процедуры прокручивались в голове Матвея вместе с целым роем мыслей. Как чувствует себя сейчас его старший брат Денис после неудачного падения с подоконника второго этажа студенческого общежития? Воображение Матвея снова воспроизводит сюжет о том, как его старший брат, откликаясь на просьбу однокурсницы открыть захлопнувшуюся дверь, решается перелезть через окно соседней комнаты с тем, чтобы открыть форточку и затем дверь, с этим коварным английским замком изнутри. Но нога соскальзывает с подоконника, вернее, сам подоконник неожиданно съезжает куда-то вбок, и Денис, не рассчитав усилий, падает вниз. В результате — перелом суставов ног, тазобедренного сустава. Нужна срочная дорогостоящая операция. Затем появляются из ниоткуда три этих вложенных в другу в друга кубика и один и тот же сверлящий вопрос: почему в плоскости Пифагоровы тройки существуют, а уже начиная с трёхмерного случая — нет? Мысленно Матвей снова рассекает куб на шесть равных пирамид. Он ищет взором что-то напоминающее эту картину на орнаменте красивого деревянного панно в коридоре школы. Но тут ход его мыслей перебивает Татьяна.

— Ну и чем всё закончилось? — озабоченно спросила она тихим голосом.

Вместе с шестнадцатилетним Матвеем в школе обучалась Татьяна, ученица одиннадцатого-седьмого класса. Они познакомились полгода назад на занятиях по ликбезу — ликвидации безграмотности по русскому языку.

— Пока получил отсрочку от смертного приговора, — отшутился Матвей, — но думаю, что Гангрена ещё повоюет на педсовете.

— Ну и флаг ей в руки! — улыбнулась Татьяна. — А как твой брат?

— Да пока по-прежнему. Не лучше и не хуже. Нужна операция и деньги. Большие деньги. — лицо Матвея стало опять серьёзным.

— Мне кажется, что ты взваливаешь на себя непосильную ношу как взрослый — Татьяна жестом показала, не прекословь и продолжила. — Проблему денег должны помочь решать родители, они взрослые, а не ты. Ты ещё ребёнок.

— Не говори мне так! — горячо возразил Матвей. Я сумею ему помочь! А вот родители не смогут! И далее более спокойно. — если бы это произошло через два года, когда они закроют ипотеку и выкупят квартиру, хотя лучше не произошло бы и совсем…

Большая перемена продолжалась и ребята увидели в коридоре Александра Николаевич Борщова, который объяснял что-то директору. Наконец оба кивнули, посмотрели на Матвея, улыбнулись и пошли по своим делам.

— Александр Николаевич! — Татьяна окликнула профессора, — нам снова нужна Ваша помощь. Борщов остановился и удивленно посмотрел на Татьяну и подталкиваемого ею Матвея.

— ?

— Можно поговорить пять минут в Вашем кабинете.

— Можно, конечно, — и профессор пригласил ребят войти. — Только не больше десяти минут.

Татьяна быстро и точно изложила Борщову суть дела: что Матвей отчаянно пытается решить Великую теорему Ферма в надежде получить премию, чтобы помочь сделать дорогостоящую операцию брату (керамический протез), что такое напряжение ума для подростка опасно, что денежные проблемы должны помочь решить взрослые, что таким способом денег не заработаешь и так далее.

Матвей смущённо молчал и думал, вот он сейчас решит, что я «заливаю», что этой теоремы я никогда не докажу и за нарушение общих правил (мало того, что бросил на асфальт одноклассника, но и получил двойки по генетике) я «отправлюсь к маме и папе домой», точно как в песне из школьного капустника.

Странно, но профессор Борщов даже не улыбался. Неужели поверил в меня? А может сейчас рассмеётся и скажет, ну старик ты даёшь! Но профессор Борщов покачал головой и задумчиво проговорил:

— Не хотел бы я заключать такое пари,. — он протер очки о собственный свитер. — Шансы выиграть меньше, чем упасть за борт тихоокеанского лайнера и остаться в живых. Профессор коротко рассказал о пассажире, который бессонной ночью вышел покурить, загляделся на звёзды и по ошибке шагнул за борт. Долгих одиннадцать часов он плавал в воде, прежде, чем на лайнере заметили пропажу пассажира, развернулись назад и самое невероятное — нашли человека в Океане!

— А нельзя ли было «заключить пари» на какую-нибудь более простую теорему, например очередное геометрическое доказательство теоремы Пифагора? — улыбаясь спросил Борщов ….

— Александр Николаевич, — вступила в разговор Татьяна Кузнецова, теперь это уже поздно. Если Матвей пойдёт на попятную, то Гангрена всё равно добьется его отчисления, вернее сделает так, что Матвей сам захочет «чтобы его ушли», то есть «уволили по собственному желанию». Мы так хотим этого не допустить, и готовы разыграть свой шанс, даже если счастливый билет — лишь один на миллион.

— Да, как мне это напоминает мир взрослых, — с сожалением задумчиво заметил Борщов, — и чем я могу Вам помочь? Ведь если я стану заниматься подсказками, то Ваш спор или пари будет считаться нечестным. Вместе с тем, если Вы, Татьяна, признаетесь Генриетте Григорьевне, что помогали Матвею, потому что Теорема очень трудная, сотни и сотни маститых математиков, как говорится, «обломали себе зубы» в поисках решения, то я уверен, что даже самые консервативные преподаватели поддержат Матвея. Если не ошибаюсь, в в 1994 году профессор математики Эндрю Уайлс отыскал доказательство на 140—150 страниц. Вы представляете теперь, насколько это сложно?

— А что если Пьер де Ферма был прав, утверждая, что существует простоте краткое решение, о котором он упоминал на полях Арифметики Диофанта? — уверенно возразил Матвей.

— Если он не хвастал, то нам остаётся лишь включить творческое воображение и воссоздать это поистине чудесное решение! — продолжила Татьяна. Она увлекалась книгами по психологии, самопознанию и часто читала популярную литературу о лидерстве.

— Хорошо, сказал Борщов. Я помогу Вам но не в роли преподавателя, а скорее в качестве фасилитатора, то есть, создающего общие условия научного поиска, но решение, если оно существует, будет только Вашим решением. Если Вы его не найдёте, то бескомпромиссно выполните требования Генриетты Григорьевны, какими бы «драконовскими» они Вам не представлялись, и при этом, как говорится, без слёз и соплей, то есть не будете давить на жалость. Идёт? — профессор Борщов замолчал и пристально посмотрел на Матвея с Татьяной.

Сейчас его взгляд был суровым, как с доски Наша ревизионная комиссия: те же усы, та же полированная лысина (не хватает лишь нагана для полного комплекта так, на всякий случай! Шутили университетские студенты и физматшкольники). При этом эта революционная внешность совсем не вязалась с мягким негромким голосом Борщова, его робостью, с которой он всякий раз входил в аудиторию, тщательно перепроверяя, не ошибся ли он дверью.

— Идёт, ответили ребята.

— Мы знаем, в каком направлении искать, сказал Матвей. Если Пьер де Ферма упомянул о сильном озарении, посетившем его, то скорее всего, решение может быть в виде рисунка, чертежа с минимальным количеством формул, как в Олимпиадной задаче. Просто раньше математики искали доказательство не в том направлении.

Борщов многозначительно кивнул и указал на часы. Ребята поспешно удались.

Не меняя общности, можно считать что справедливо неравенство для нашей тройки чисел a <b, где b, в свою очередь, меньше числа с, стоящего в правой части уравнения теоремы Ферма.

Слагаемые a, b не могут быть равными, в силу иррациональности числа √2, которое невозможно представить в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q.

Врезка. Числа древние, но вечно юные

Числа натуральные, целые, рациональные, иррациональные и трансцендентальные.

Напомним, что в начальных классах школы на уроках арифметики изучаются натуральные числа: 1,2,3,4,5…, которые используются, например для счёта предметов. Говорят, что такие числа образуют бесконечное множество N. Оно обозначается фигурными скобками N = {1,2,3,4,5 ….}. Каким бы большим не было натуральное число n, всегда найдётся число на единицу больше n+1. Конечно, это математическое упрощение, физики установили, что даже Вселенная имеет конечные размеры, определяемое как скорость света с = 3*108 м/с умножить на 15 млрд лет. (Любознательные могут рассчитать размер Вселенной в метрах, для чего удобно принять во внимание, что в году примерно π *107 секунд). Оказалось, что для вычислений очень удобно работать с целыми числами, где наряду с положительными имеются также ноль и отрицательные числа. Кольцо целых чисел Z =… -3, -2, -1,0,1,2,3 … с операциями слоения вычитания и умножения. Но и целых чисел не достаточно было для решения задач аграрной индустрии, архитектуры, торговли и мануфактуры, промышленности: именно эти отрасли знаний стимулировали развитие математики. Ещё в Древней Греции были открыты рациональные, иррациональные и трансцендентные числа, впоследствии математики дали им строгое определение.

Рациональное числа представляются в виде дроби p/q. Можно сократить числитель и знаменатель до взаимно простых чисел, разделив их на НОД — наибольший общий делитель. Например, вместо 4/6 писать 2/3. Целую часть можно записать рядом с дробной как-то: 3/2 =1 ½.

Если читать умеет делить числа в столбик, то сможет дробное представление числа привести к десятичному виду, как например 2/3 = 0,6666666666…, рано или поздно в этом ряду появится повторение одной или последовательности цифр или одной и той же цифры. Это происходит потому, что остаток от деления чисел всегда делится на одно и то же делимое. Рано или поздно варианты разных остатков будут исчерпаны и начнётся циклическое повторением (математики вводят понятие сравнение чисел по модулю, принцип Дирихле, а можно просто поэкспериментировать самостоятельно и убедиться!)

Вместе с тем, наряду с рациональными существуют иррациональные числа, они не могут быть представлены в виде десятичной дроби с повторяющейся последовательностью чисел, как например, √2= 1.41…. является иррациональным числом. Допустим обратное, которое представимо в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q. Рассмотрим внимательнее уравнение 2q2 = p2 Его левая часть делится на два, значит правая часть делится уже на четыре, поскольку p можно разложить на простые числа, как то: 2,3,5,7,11,13,17 …. делящиеся только на себя и на единицу. Набор сомножителей в правой части будет повторяться дважды для p2, отсюда свойство делимости на четыре. Но тогда в этом уравнении и q будет делиться на два. Смело сократив левую часть на общий делитель два в итоге получим что числа p и q, вопреки сделанному допущению, имеют в качестве общего делителя двойку и её степени. А это означает, что исходное предложение относительно числителя и знаменателя оказалось ошибочным: оба они четные, делятся на два, но мы исходно предполагали, что p, q не имеют общих делителей, которые заранее сократили. Значит √2 не представляется в виде дроби, аналогичные рассуждения применимы для корня из двух степени n.

Трансцендентное число не может быть корнем алгебраического выражения, например число π = 3.14158 или число Эйлера е = 2.718. Вместе с тем трансцендентные числа играют важную роль не только в геометрии, но при описании динамических процессов в физике, экономике, социологии.

Целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа образуют вместе множество действительных чисел R можно сопоставить каждому числу точку на оси абсцисс Х и радиус вектор из начала координат до этой точки, при этом длина этого вектора будет равна модулю числа |х|. Для случая плоскости R2, мы будем иметь дело с парами чисел: (x, y) и радиус вектором из начала координат до точки на плоскости. Для трехмерного пространства R3 понадобится задавать координаты его точек уже тройками чисел (x, y, z) а для многомерного пространства Rn координаты любой точки по осям описываются радиус-вектором (x1, x2,…xn).

Интересно заметить, что целые числа можно сосчитать, а именно: сопоставить каждому целому числу натуральное число — его модуль. Отрицательные числа можно считать парами вместе с положительными (это напоминает работу проводника на два вагона). Такое множество, хотя и бесконечно, является счётным. Несложные рассуждения позволяют сделать вывод, что является счётным множество рациональных числе p/q. Представим себе огромный (бесконечный) кинозал, где номер ряда — это числитель, а номер места — знаменатель. Так например в первом ряду расположены слева направо (или с Запада на Восток) зрительские места с дробями 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Во втором — 2/1, 2/2, 2/3, 2/4 и т. д. Предположим, что все места размещены в зале с соблюдением социальной дистанции, так что контролёр может свободно перемещаться как по рядам, так насквозь любого ряда.

Если безбилетник сидит на месте p в ряду q, то проводник — робот, следующий из вершины 1/1 всё равно его обнаружит, если будет придерживаться несложного алгоритма. Итак, контролёр входит в зрительский зал с Северо-Запада, как раз в месте размещения 1/1.

Контролёр делает один шаг на Восток к месту 1/2;

далее шагает в Юго-Западном направлении к месту 2/1;

после этого делает ещё один шаг на Юг к месту 3/1;

затем совершает два шага в Северо-Восточном направлении к местам 2/2 и 1/3;

после чего совершает один шаг на Восток к 1/4;

потом три шага в Юго-Западном направлении, проверяя места 2/3, 3/2, 4/1…

И таким образом контролёр последовательно исследует зрительский зал, дрейфуя как челнок, то в Юго-Западном, то в Северно-Восточном направлениях, охватывая контролируемую территорию всё расширяющимся на один шаг с каждым обходом треугольником, вершина которого размещается в Северо-Западной части зала.

Вместе с тем, действительные числа сосчитать невозможно это множество образует континуум. Между двумя близкими рациональными числами всегда найдётся сколько угодно много других иррациональных чисел. Например, в треугольнике средняя линяя равномощна основанию. Это следует понимать так, что каждой точке на средней линии треугольника соответствует точка на его основании, и наоборот.

Основные математические знания

Трёх и n- мерная система координат

Представим себе, что Вы управляете дроном. Пульт управления необычен. Он имеет кнопочки, задающие движения:

Дрон может двигаться:

на Север, на Юг,

на Запад

на Восток

Вниз

Вверх

Сам дрон имеет гирокомпас и отлично ориентируется в пространстве, ожидая Ваших команд.

Допустим, Вам требуется доставить пакет с вакциной от корнавируса на 10-ый этаж и аккуратно подать его в окно. Вы находитесь в начале координат, а пункт назначения — 10 м на Восток, 10 м. на Север, и 20 м. вверх. Эти координаты можно задать так:

Пункт назначения точка P = (10, 10, 20) в координатных осях

При этом подразумевается, что мысленно мы используем оси:

Запад -Восток — ось Х

Юг- Север — ось Y

Низ-Верх — ось Z

А теперь, допустим, Вы производите запуск с балкона небоскрёба.

Если бы окно находилось по отношению к Вам на 20 м. западнее, на 5 м. южнее и на 15 м. ниже Вашего балкона, то координаты точки P = (-10, -5, -15)

Это так называемая Декартова система координат по имени математика и философа Рене Декарта. Наглядный двумерный случай Декартовой системы координат — это шахматная доска, это плоская карта местности. Каждая точка однозначно определяется двумя координатами.

Как бы Вы объяснили двумерному существу?

Как бы Вы объяснили двумерному существу третье измерение — высоту? Предположим, что в совершенно плоском мире Вы ведёте диалог с философом, имеющим богатое творческое воображение, Вы принялись бы объяснять, как можно повернуть ботинок, больше напоминающий в этом случае стельку от обуви, в третьем измерении и сделать из правого ботинка левый и наоборот.

Точно так же трёхмерный ботинок можно разверзнуть в четырехмерном пространстве и сделать правый левым, а левый — правым.

====== Знаете ли Вы что такое Флатландия? ======

«Флатла́ндия» (англ. «Flatland: A Romance of Many Dimensions») — роман Эдвина Э. Эбботта, который вышел в свет в 1884 году. Этот научно-фантастический роман считается полезным для людей, изучающих, например, понятия о других пространственных измерениях или гиперпространствах. Как литературное произведение роман ценится из-за сатиры на социальную иерархию викторианского общества. Айзек Азимов в предисловии к одной из многих публикаций романа написал, что это «лучшее введение в способ восприятия измерений, которое может быть найдено».

По этой книге было снято несколько фильмов, в том числе одноимённый художественный фильм 2007 года, в России известный как Плоский Мир.

=======================================================

Итак, в многомерном пространстве координаты любой точки P задаются относительно начала координат выражением: P = (x1, x2, … xn), а вектор соединяющий начало координат — точку (0, 0,0 … 0) и точку P именуется радиус вектором например A, B, C его компоненты — это координаты по осям: x1, x2, … xn

интересно заметить, что как в двумерном, трёхмерном пространстве, так и многомерном пространстве радиус векторы можно складывать — вычитать покомпонентно:

A + B = (a1 + b1, a2 + b2 …. an + bn)

Так например, в физике происходит сложение перемещений, скоростей либо сил.

А что будет при умножении векторов? Да, такая операция возможна. Познакомимся со скалярным произведением двух векторов, которое происходит также по каждой компоненте отдельно, а результат — число образуемое путем сложения результатов таких произведений:

A * B = a1 * b1 + a2 * b2 + …. + an * bn

Попробуем умножить вектор a = (1,1,1) на самого себя

(1,1,1) * (1,1,1) = 1*1 +1 *1 +1 * 1 = 3 или квадрат модуля вектора обозначаемого как |a|2. Не принято говорить длина вектора — принято говорить модуль вектора. Легко вычислить, что в n -мерном кубе с ребром a длина наибольшей диагонали равна a * √n в самом деле в квадрате это a * √2 а для случая куба a * √3.

В чём же состоит смысл скалярного произведения?

Например, в физике вектор силы умножить на вектор пройденного путем есть совершенная над телом работа. Если эти вектора со-направлены, то результат будет максимальный, если перпендикулярны, — то нулевой (санки нельзя ускорить, если Вы прикладываете силу поперёк их движения).

======================================================

Глава 2 Удивительный мир симметрии

Вечером на ручных часах Татьяны раздалось бип-бип-бип и появилось сообщение:

Предл. Встрет. завтра 12:00 в «Собачьих бутербродах» у М. Г@ // Борщ. Ок?

Татьяна ответила ОК! и сразу увидела результат голосования других ребят: Матвея и Артура, младшего одиннадцатилетнего брата Татьяны, — все они были согласны. Матвей был самым юным участником творческой группы, представителем той самой целевой группы, для которой необходимо отыскать доказательство. Если ты сможешь объяснить всё это одиннадцатилетнему школьнику, то будь уверен, сможешь объяснить миллиардам других людей с обычной школьной подготовкой! — убеждала она Матвея. И Матвей хорошо подумав, получив еще раз заверения от сохранении строжайшей конфиденциальности от Татьяны, согласился.

Кафе быстрого питания было расположено прямо у выхода метро, напротив университета в этом месте обычно любил назначать встречи Борщов, сопровождая это словами: конечно пища там лишь условно съедобная, но зато место удобное и обстановка уютная, подходящая для диалога.

Он пунктуально пришел на встречу за десять минут до начала и, заняв пустой столик у окна, принялся читать только что изданную коллективную монографию, где наряду с прочими работами была и его: «Социологические методы идентификации судебной коррупции». За окном бурлила предновогодняя жизнь, под аккомпанемент лёгкого пушистого снега и солнышка (вот уже настоящий предновогодний подарок! — отметил про себя Борщов), прохожие и автомобили мелькали в окне, а их полупрозрачные отражения — в самом кафе. Методично раздавался голос кассиров на выдаче:

— Номер восемьдесят пять, один Американо и чизбургер, номер сто четырнадцатый салат из крабов, номер сто одиннадцать: картошка фри…

И вот дружная компания снова собралась за одним столом: Матвей небрежно стаскивал с себя куртку, запорошенную снегом, Татьяна элегантно сняла красивое пальто, которое так эффектно подчёркивало её фигуру. Артур уже сидел в строгом деловом костюмчике, — прямо таки аккуратно причесанный примерны отличник со школьной фотографии.

Матвей заказал кофе, Татьяна и Артур — мороженое, Борщов — чай, который сразу же вылил в раковину и налил себе из бутылочки предусмотрительно купленный в соседнем супермаркете кисло-молочный напиток Айран, бережно извлечённый из профессиорского портфеля:

— А чай все равно не настоящий, робко прокомментировал своё расточительство профессор, пожав при этом плечами — но пустого стаканчика здесь нет.

Ребята обсудили последние новости. Артур сначала держался строго официально, а затем вдруг похвастался последней пятёркой по математике и сказал, что это поможет ему перевестись в лицей, а не оставаться в нынешней прогимназии с лузерами. Татьяна чуть укоризненно посмотрела на брата, заметив, что деление людей на лузеров и виннеров — это дурной тон и снобизм. Матвей смущаясь сообщил, что получил двойку по генетике: потому что к контрольной не готовился, а в генетике много математики, в которой он «немного тугодум», чем вызвал не мало удивления у всей компании. Борщов добавил свою историю о том, как отслужив в армии, он получал двойки на уроках военной подготовки, потому что не мог ходить чётким строевым шагом и стыдился списывать со шпаргалок, а требовалась именно максимальная точность воспроизведения текста. Борщов и ребята много шутили, смеялись, но при этом без насмешек. Наконец, Борщов умолк и лицо его стало серьёзным.

— Сегодня при проведении вебинара, — сказал он, я обнаружил странный эффект. На компьютере запущена программа: то ли Зум (Zoom), то ли Скайп (Skype) — словом, из разряда подобных. Программа просто копирует все что видит в комнате, а также слайды на экране компа и передает по каналам связи собеседникам. За моей спиной проектор отображает эти же слайды на экране. Так вот, надписи слайдов на экране читаются нормально, но те слайды, что за моей спиной на экране — не читаются, поскольку они отражены словно в зеркале.

— Я тоже сталкивалась с подобным, — улыбаясь кивнула Татьяна. — причём, я спрашивала у тех собеседников, с которыми общалась: что Вы видите, можете ли Вы прочитать слайды нормально? — Отвечают, да, всё видим как обычно.

— Вот именно! — продолжал Борщов. — для того, у кого за спиной экран, изображение зеркальное, а для его собеседников — нет. Если оглянуться назад, через плечо, то слайды на большом экране, куда они проецируются, читаются, слайды и презентации на экране компьютера также читаются, а за спиной лектора — отражаются зеркально! В чем здесь фокус?

— На самом деле никакого фокуса нет, — подумав ответил Матвей, просто веб-камера, дисплей компьютера и программа вместе образуют своего рода электронное зеркало. Убедитесь в этом, посмотрите на нас вон в то зеркало.

— Ну и … — недоуменно пожал плечами Борщов, — зеркало, как зеркало.

— Вот именно так все мы привыкли видеть себя в отражении, и поэтому разработчики софта сделали всё таким образом, чтобы потакать нашим привычкам — пояснил Матвей.

— Я предлагаю сделать небольшой эксперимент, сказала Татьяна и начертила на двух салфетках трубочкой от коктейля, измазанной в шоколаде крупные буквы:

ДА

— А теперь, Артур, встань за спиной Александра Николаевича с этим транспарантом! — чуть повелительно сказала она своему брату.

Чувствуя значимость порученной миссии, Артур за спиной профессора поднял салфетку.

— Прочитайте, пожалуйста, Александр Николаевич, — обратилась она к Борщову, указывая на зеркало, где отражалось:

АД

— Ад! — прочитал Борщов, глядя в зеркало напротив столика.

— Представьте себе, что это слайды, — продолжала Татьяна. — Вы согласны, что происходит зеркальное отражение?

— Ну это очевидно! Но это почему мои собеседники читают все слайды нормально, а я — нет?

Татьяна жестом показала, что сейчас она всё объяснит и попросила Артура сесть напротив Борщова у свободного столика под зеркалом, держа в руках те же салфетки.

— Теперь снова ДА, прочитал Борщов.

— Александр Николаевич, — пришёл на помощь Матвей, — в мире программирования есть такая функция настройки дисплея, называется флип (flip) — отразить экран или фотографию. А вообще, программа может представлять изображение как угодно: прямо, зеркально, к верх ногами, под наклоном девяносто градусов и так далее. Но нам привычнее на экране читать тексты слева направо, а своё лицо видеть как в зеркале. Как бы Вы поступили на месте разработчиков зумпоподобных сервисов?

— Я бы… постарался сделать эффект полного присутствия — подумав немного ответил Борщов.

— Да, продолжила, Татьяна, поэтому свой текст на экране и своего собеседника мы видим без зеркального отражения, а изображение своей фигуры — как в зеркальном отражении. И всё что у нас за головой, попадающее в поле веб — камеры, мы также видим как в зеркале, посмотрите же на Артура ещё раз!

— Ах, да! — стукнул по своему столу Борщов. — ну какой я тупица! Это же надо, как просто! Коллеги, Вы меня положили на обе лопатки!

Ребята дружно улыбнулись, ещё бы: один гол в их пользу.

— Ну а теперь, я уверен, что с Теоремой Ферма Вы справитесь, — улыбаясь сказал Борщов. Что Вам удалось отыскать?

Матвей достал стопку листов с рисунками и стал пояснять. Он пытался разворачивать текст и рисунки к Борщову, но тот остановил репликой: я читаю вверх ногами без труда.

Матвей не торопясь начал:

— Давайте рассмотрим терему Ферма с позиции физики и геометрии. Именно в этом направлении есть шансы отыскать решение, основные идеи которого можно схематично уместить на достаточно широких полях книги.

Не меняя общности, можно считать что справедливо неравенство для нашей тройки чисел a <b, где b, в свою очередь, меньше числа с, стоящего в правой части уравнения теоремы Ферма. Слагаемые a, b не могут быть равными, в силу иррациональности числа √2, которое невозможно представить в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q. (см. Рис. 1.1. выше).

На деле оказывается, что таким делителем всегда будет двойка и её степени, а это означает, что исходное предложение относительно числителя и знаменателя оказались ошибочными: оба они чётные, делятся на два, а мы исходно предполагали, что p, q не имеют общих делителей, которые заранее сократили.

Матвей говорил, водя карандашом по рисунку:

— Предположим, что искомая тройка целых чисел существует. Можно сопоставить ей соответствующую фигуру в виде гиперкубов с ребрами a, b и c, вписанными друг в друга в многомерном пространстве.

….… … … … …… … … … …… … … ……

Вкусная коробочка в зазеркалье

Артур закрыл глаза и вспомнил, как накануне вечером Татьяна пригласил его подойти к трильяжу — тройному зеркалу на тумбе. Мама несколько раз порывалась выбросить этот бабушкин антиквариат, но Татьяна отстояла: очень ей нравилось рассматривать свои наряды и прочёску с помощью главного основного и двух боковых поворачивающихся зеркал.

— Ух как вкусно пахнет! — сказал Артур, схватив с тумбочки изящную коробочку из под одеколона.

— Отдай! Я сюда пригласил тебя не для того, чтобы нюхать парфюм — быстро ответил Татьяна и разложила на столе приготовленные для эксперимента предметы. — Смотри что я буду делать внимательно, а лучше снимай на видео.

Татьяна развернула зеркала в одну линию и придвинула коробочку плотно к правому углу главного зеркала. А затем спросила:

— Сколько ты видишь здесь коробочек?

— Ну конечно, две.

— А теперь? — Татьяна повернула к себе под прямым углом правое малое зеркало.

— Теперь четыре — ответил Артур. — Ну это и дураку понятно. В чём фокус?

— Не перебивай и смотри дальше!

Татьяна достала из ящика стола еще одно небольшое зеркало размером с тетрадь и положила его под коробочку.

— Ну, а теперь сколько ты видишь здесь коробочек?

— Раз, два\, три… да их уже стало восемь! — ответил Артур. — Интересно!

— Дальше будет самое интересное, — остановила его Татьяна. — Теперь я утеплю нашу коробочку. С этими словами она достала из портфеля квадратные постеры, отсчитала три пачки по десять листочков и принялась ими аккуратно оклеивать переднюю, боковую и верхнюю грани коробочки.

— Ты как-то плохо утепляешь свой домик — улыбаясь заметил Артур. — у тебя остаются щели.

— Вижу. Сейчас дойдёт очередь и до них.

И Татьяна извлекла из коробка три спички, срезала ножницами серные головки, чтобы не мешали, слегка промазала спички клеем и прикрепила на рёбра утепляемого домика.

— Всё равно остаётся вот эта дырка! — заметил Артур, указав пальцем на верхнюю боковую вершину созданного домика.

— Всему своё черёд — спокойно ответил Татьяна, закрывая эту вершину кусочком красного пластилина размером со спичечную головку. — А теперь скажи, сколько вершин ты видишь?

— Настоящую? Одну.

— Да нет, я не то имела ввиду. Сколько всего вершин ты видишь, не важно настоящие или отражённые?

— Раз, два, три… ну конечно восемь — ответил Артур.

— Вот именно! Каждое зеркало удваивает реальные и отражённые предметы, словно они такие же реальные. Два умножить на два, умножить на два или 23 будет восемь.

— Само собой, а где обещанный фокус?

— Фокуса никто не обещал, но он всё-таки здесь есть — улыбаясь ответил Татьяна. — Заметь, всё что я делала с малой коробочкой повторялось в зеркальном отражении. Я оклеила всего три грани: верхнюю, левую боковую и обращенную к нам. И в результате все шесть граней нашей фигуры стали покрытыми. Я прикрепила всего три спички по рёбрам домика — и в итоге все двенадцать рёбер нашего домика были закрыты. Наконец, я поместила кусочек пластилина в одну вершину — все восемь вершин оказались аккуратно зарытыми. Тем самым, мы покрыли нашу коробочку слоем. состоящим их трёх граней, трёх ребер и одной вершины.

— Экономно — задумчиво заметил Артур. Но что всё это значит?

— А это значит, что можно работать с тем представлением, которое нам удобно, но результат будет один. — назидательно сказала Татьяна. — Нам удобно описывать слой в представлении куба или гиперкуба «зажатого в угол» между зеркалами, так проще описывать его математическими формулами. В других ситуациях, нам важно заострить своё внимание на симметричности гиперкуба, совместив его центр с началом координат. Но оба представления легко преобразуются друг в друга. Ты всё аккуратно записал на видео?

— Да

— Значит ты легко убедишься: всё, что ты делаешь с гиперкубом, зажатым в угол между зеркалами, одновременно появляется в зеркальном отражении и наоборот. От наблюдателя можно закрыть основной гиперкуба, те есть нашу коробочку шторкой, но легко представить себе все действия над ним, глядя в зеркальные отражения. Верно?

— Верно.

— А ещё обрати внимание на зеркало. — указала пальцем Татьяна. — Это не просто зеркало а гиперплоскость, в данном эксперименте мы с тобой работали с трёхмерным кубом, зеркало было двумерным, то есть на единицу меньшим пространством. Если бы работали с двумерным квадратом, то все отражения я в таком же порядке произвела бы от двух одномерных прямых, которые, в двумерном мире сыграли бы роль зеркал.

— Угу — ответил Артур.

— Ну раз ты говоришь «угу», то что ты скажешь относительно четырёхмерного пространства?

— Да подумаю… так, так, так -так- так — многозначительно наморщил лоб Артур. Кажется… там был бы особый трильяж с трёхмерными зеркалами, где отразился бы четырёхмерный гиперкуб. Но, убей меня, не могу себе как следует это представить!

— Ничего страшного! — успокоила брата Татьяна, — там гиперплоскости стали бы уже трёхмерными, число отражений стало бы: два умножить на два, умножить … — словом, так четыре произведения двойки, итого 24 или шестнадцать. Столько же стало бы вершин вместе с отражением. Ну и так далее. . . .— Татьяна озабоченно посмотрела на часы. — Детское время кончилось.  Всё это нам очень пригодиться завтра на встрече. — подытожила Татьяна. — И не ударь лицом в грязь со своими дурацкими, ненужными вопросами!

— Между прочим, я та самая целевая группа, ради которой «производятся все эти танцы». И мои вопросы вовсе не дурацкие — возразил Артур.

….… … … … …… … … … …… … … ……

Пифагоровы тройки на шахматной доске

А тем временем Матвей продолжал:

— Следующие рисунки представляют вписанные друг в друга гиперкубы для случаев размерностей пространства n = 2 то есть плоскости:

— А здесь вершина каждого гиперкуба, выделенного цветом, совпадает с началом координат, в дальнейшем начало координат будет помещаться также в центр гиперкуба. Фигуры в виде композиции гиперкубов начало координат в вершинах и начало координат в центрах гиперкубов преобразуются друг в друга за счет отражения от гиперплоскостей и масштабирования.

Матвей сделал паузу и продемонстрировал на салфетке с пунктирным изображением квадратов, нарисованными трубочкой от коктейля, которую он слегка обмакивал в кофе словно гусиное перо, как легко складывается и раскладывается обратно четыре одинаковых квадрата в разных частях салфетки на рисунке 2.3 выше.

— Обратите внимание, сложить, это все равно, что рассечь фигуру гиперплоскостью, перпендикулярной определенной оси, или просто прямой для двумерного случая, — прокомментировал Матвей, демонстрируя салфетку на просвет, — ну вот, квадраты почти совпали. Так, совмещаем их центры с началом координат, а грани делаем перпендикулярными каждой из n осей. Теперь можно разложить салфетку, что равносильно операции отражения фигуры от выбранной нами гиперплоскости. Далее Матвей снова, продолжил водить карандашом как указкой по следующему рисунку, комментируя:

— Рассмотрим случай целых положительных, т. е. натуральных чисел a, b, c, затем и случай отрицательных чисел. По определению гиперкуб an в n-мерном пространстве это множество точек пространства, удовлетворяющее условию: каждая компонента больше чем минус, но меньше, чем плюс половина ребра гиперкуба: a ½a <xj <½a.

— Стоп, перебила Татьяна, — Артур, тебе все понятно?

— Примерно половина сказанного, как-то неуверенно ответил, Артур.

Профессор Борщов одобрительно посмотрел на Татьяну и примирительно сказал:

— Ребята, Вы только что сами убедились, как легко я сел в лужу по простому вопросу отражения в зеркале. Предлагаю, отбросить математический формализм в сторону и говорить на языке школьника 3—4 класса. Ок?

Ну ладно, попробую ещё нагляднее, ответил Матвей, извлекая из портфеля шахматную доску, деревянные детские кубики и маркеры для письма по доске. — эта доска навощена тонким воском, и поэтому на ней можно легко писать вот этими маркерами, затем стирать бесследно и снова писать, я уже пробовал. — На возьми, Артур, обвели три квадрата на шахматной доске размером три на три, четыре на четыре и пять на пять клеток, да при этом начиная с одного и того же места, вот здесь, например, как будто это листы на дереве, растущие из одной точки (см. Рис. 2.2. выше).

Артур легко справился с задачей, он начертил малый синий, затем средний жёлтый и наконец, большой красный квадраты с общей вершиной, примерно так, как на рисунке.

— Можешь ли ты, Артур сосчитать площадь малого, добавить к нему площадь среднего квадрата и сравнить с площадью большого? Артур водя пальцем по шахматной доске начал сосчитал вслух количество квадратов и кивнул: да, действительно девять плюс шестнадцать будет двадцать пять….

— Но ведь это просто теорема Пифагора, — недоуменно сказал он, -мне папа о ней рассказывал, а ещё я слышал, что в честь открытия этой теоремы Пифагор велел заколоть сто быков.

— И с той поры все скоты дрожат, когда открывается новая теорема! — пошутил Борщов.

Матвей охотно продолжил. Он взял в руки детский деревянный кубик и начал окружать его слоем других кубиков, комментируя свои действия словами:

— Представим себе, что я каменщик, что строю дома в многомерном пространстве, но прямо сейчас я работаю в привычном для нас трёхмерном. Я беру единичный кубик, назовем его гиперкубик, беру также цемент или сильный строительный клей и обмазываю тонким слоем каждую грань гиперкубика. В данном трёхмерном случае у меня получается просто куб с ребром три, легко убедиться, что в нём двадцать семь гиперкубиков, то есть элементарных кубиков.

— Всё это ясно, — сказал Артур, а остальные молча кивнули в знак одобрения.

Матвей, сосредоточившись на рисунке, пояснял:

— Пусть a-Малый гиперкуб образуется путём наслаивания некоторого количества слоёв равной единичной толщины, например один сантиметр или один дециметр, метр — не важно, вокруг гиперкубика, я его буду обозначать его как единичка в степени n или 1n, при этом b-Средний гиперкуб охватывающий a-Малый, получается путем добавления например l слоёв единичной толщины, c-Большой гиперкуб содержит ещё m аналогичных слоёв. В результате уравнение Теоремы Ферма геометрически можно представить образно говоря, как многомерный торт, состоящий из трёх видов слоистых коржей толщиной вложенных друг в друга.

— Или просто ящички, ставленные в другие ящички как русская матрёшка — уточнила Татьяна.

— Да — с радостью поддержал её Матвей.

— А что такое многомерный куб? — вдруг спросил Матвея Борщов.

— Ах, да! -воскликнул, Матвей, — я должен был это рассказать с самого начала. Он взял чистый лист и стал чертить: Точка, отрезок длиной а, квадрат а2, трёх мерный куб а3 тессеракт a4 и т. д. — это гиперкубы соответственно нольмерного, одномерного, двумерного, трёхмерного, четырёх мерного пространства… В этом ряду каждая следующая фигура размерности n образуется путем перемещения гиперкуба размерности n-1 на длину ребра а в направлении, поперечном каждому из n -1 других.

Представьте себе, что мы объясняем двумерному существу, живущему на плоскости, как можно двигаться вверх и вниз. Это конечно, трудно, но например возьмём вот эту прокладку для обуви, — и Матвей как фокусник извлёк из под стола две новые обувные стельки, завёрнутые в полиэтилен, распечатал упаковку.

— Я могу убедить математика, живущего на плоскости, что если бы он смог прибегнуть к помощи трехмерного пространства, то без труда заменил бы левую стельку правой и наоборот. А для нас, трёхмерных существ, так можно было бы поступить с ботинками, а именной взять левый ботинок перевернуть его в четырёхмерном пространстве и получить правый и опять же наоборот из правого -левый!

— Я об этом где-то читал в детстве, — задумчиво заметил Борщов.

— Но ведь пространство больше трёх, ну может быть ещё четырехмерное с добавлением оси времени, — задумчиво сказал вслух Татьяна, — словом такие фигуры существуют лишь в нашем воображении, они выдуманные, а не реальные

— А реальны ли отрицательные числа? А комплексные числа? — вдруг спросил Борщов. Матвей приготовился ответить, но Борщов кивком головы дал ему понять: позвольте мне, коллеги, это быстро объяснить простыми словами. — Отрицательные числа используется в финансах и бухгалтерии, без них невозможна работа рыночной экономики, то есть мы сопоставляем отрицательным числам реальные объекты: банковский кредит, налоги и так далее. Что касается комплексных чисел, то они упрощают работу с радиоволнами, оптикой. У каждого из Вас мобильник — это реальность? Безусловно. Что касается физических формул, то в них используются пятые, шестые и более высокие степени, аналогичная ситуация в социологии, маркетинге — другими словами, гиперкубы моделируют материальные объекты. Продолжайте, пожалуйста, Матвей.

И Матвей продолжал:

— Гиперкуб обладает свойством симметрии. Если расположить начало координат в центре гиперкуба, то каждая его вершина будет находится на расстоянии половина ребра a умножить на квадратный корень √n, что легко вычисляется по теореме Пифагора. Перпендикуляр, опущенный из центра гиперкуба на любую его грань, проходит через её центр и длина образуемого отрезка (высоты любой из совершенно одинаковых из 2n гиперпирамид, на которые рассекается гиперкуб составляет половину ребра гиперкуба ½а). Легко убедиться, что грань гиперкуба — это гиперкуб размерности на единицу меньше…

— А я видел фильм про гиперкуб! — вдруг перебил его Артур. -Там он как- то странно крутился на шарнирах…

— Да, это тессеракт, — подтвердил Матвей или четырехмерный гиперкуб, но его показывают с эффектом параллакса или о степенях выше трёх мы ещё поговорим, а пока достаточно сравнить двухмерный, он показал на шахматную доску и трёхмерный случаи, и он коснулся фигуры из деревянных кубиков.

Давайте рассечем нашу фигуру из трёх вложенных друг в друга гиперкубов на равные гиперпирамиды, конкретно квадраты мы рассечем прямыми линиями на четыре треугольника, а кубы — на шесть совершенно одинаковых пирамид, как раз по числу граней.

— А почему они будут одинаковы? — задумчиво спросил Борщов.

— Потому что каждая пирамида имеет одинаковую высоту, равную как раз половине ребра гиперперкуба и основания каждой пирамиды одновременно являются гранями гиперкуба, а в силу симметрии грани между собой конгруэнтны, проще говоря равны. Более того эти пирамиды правильные, их грани равны и боковые ребра равны, поскольку являются полудиагоналями гиперкуба, что составляет a * √n /2.

— Ага, вижу ….

— Матвей, ты хочешь сказать, что эти пирамиды также вписаны друг в друга: большая, малая и средняя? — спросила его Татьяна.

— Да, они также вписаны как и гиперкубы, но я их не стал изображать, чтобы не затруднить восприятие.

— Я кажется догадалась, ты сейчас расскажешь нам о симметрии! — предвосхитила с улыбкой Татьяна.

— Совершенно точно! — ответил Матвей. Все, что касается соотношения объёмов гиперкубов повторяется и для этих пирамид, но в силу симметрии мы можем сфокусироваться лишь на одной пирамиде, если хотите, называйте гиперпирамиде, но первое проще…

— Матвей, вдруг заговорил после небольшой паузы Борщов, — если Вы всё-таки склоняется нас в пользу геометрической наглядности, то не могли бы Вы сформулировать и саму Великую теорему в геометрической форме?

— С радостью! — ответил Матвей. Он перелистнул пару листов и наконец с расстановкой зачитал:

Формулировка теоремы Ферма в геометрической форме

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

В n-мерном пространстве объем a-Малого гиперкуба (объединение 1n и последовательное наращивание k слоёв) прибавить объем b-Среднего гиперкуба (наращивание ещё l слоёв) образует объем c-Большого гиперкуба (ещё m слоёв). Ребра гиперкубов — целые числа. Все слои следуют последовательно и непрерывно, пронумерованы натуральными числами. Чтобы правая и левая часть уравнения Ферма были равны, необходимо соблюдение ряда условий:

с одной стороны:

центральная симметричность фигуры в виде трёх вложенных гиперкубов, непрерывность следования слоёв, их полное заполнение гиперкубиками

с другой стороны:

объём a-Малого гиперкуба равен объему множества точек между с-Большим и b-Средним гиперкубами.

При n> 2 эти условия являются взаимоисключающими и невыполнимы.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Легко убедиться на примере любой (обозначается как ∀) Пифагоровой тройки, что последнее условие, в случае такой тройки, выполняется в двумерном пространстве, т.е. для вписанных друг в друга квадратов. Формула теоремы Ферма — это аналог теоремы Пифагора, но в n-мерном пространстве. Если хотя бы Пифагорова тройка в n-мерном пространстве найдется, то Теорема Ферма и его уравнение будут опровергнуты.

— Пока все понятно, кроме слоя, что это такое? — спросил Борщов.

— Строго математически мы вводим определение слоя S как множества точек в n — мерном пространств, полученное в результате разности множеств точек вписанных друг в друга гиперкубов, с общей вершиной, рёбра которых отличаются на единицу, как на экзамене ответил Матвей (см. Рис 2.2.).

— А если не вершины, а центры гиперкубов общие, — указав на шахматную доску, сказала Татьяна, — то рёбра гиперкубов, ограничивающие слой будут отличаться на двойку?

— Абсолютно точно! — кивнул Матвей. — Но мы будем выбирать то или иное множество фигур.

1) множество фигур «начало координат в вершинах» вписанными друг в друга гиперкубов, совмещенных по произвольной вершине

или

2) в «начало координат в центре всех трёх гиперкубов an, bn, cn».

Обе геометрических фигуры соответствующих каждому из только то заданных множеств точек пространства, преобразуются друг в друга за счет отражений от гиперплоскостей, перпендикулярных каждой из n осей координат либо рассечения фигуры на «гиперквадранты» и масштабирования. Вспомните наши эксперименты с салфеткой! — Матвей схватил со стола сложенную дважды пополам салфетку и продемонстрировал ее всей компании.

— Под термином гиперквадрант понимается, например, подпространство только неотрицательных значений … — Матвей приготовился выдать строгое определение но его перебили.

— Проще говоря это салфетка сложенная на четыре части, а точнее её малый квадратик? — задала наводящий вопрос Татьяна.

— Да

— Ну так и скажи, мы же не на экзамене — назидательно сказала Татьяна.

— Итак, коллеги, для начала неплохо, очень даже неплохо, начала подытоживать встречу Борщов. — давайте опишем какое примерно это должно быть это направление, вернее, где может скрываться доказательство? И Борщов, пригласил широким жестом высказаться каждого.

Оно должно быть очевидным, и на первый взгляд, совершенно невероятным

— задумчиво произнесла Татьяна.

Его можно понять с минимальным количеством формул или совсем без формул

— добавил Матвей.
Все посмотрели на одиннадцатилетнего Артура — собравшись духом, он каким-то официальным тоном сказал:

Такое доказательство должен понимать любой потребитель, категории двенадцать плюс!

— Вот как глубоко в нашу жизнь проник маркетинг! — назидательно шутя заметила Татьяна. А в целом, — продолжала Татьяна: хорошо бы провести опрос среди знакомых и знакомых их знакомых (вот здесь как раз и могут пригодиться социальные сети!), кто сможет пересказать по памяти доказательство Великой теоремы Ферма? За исключением от силы сотни математиков — Гуру в теории чисел и лиц с фотографической памятью, способных точно запомнить полторы сотни страниц текста, этого не сможет сделать никто!

— Именно поэтому поиск Истины и наглядных доказательств нельзя остановить с присуждением Абелевской премии, заметил Борщов.

Итак группа выработала основные правила

встречаться каждую в неделю;
терпеливо перебирать разные варианты, даже немного крейзи, тщательно прорабатывать детали;
«не залезать в дебри»;
искать простое наглядное доказательство, понятное школьнику средних классов школы;
и не посещать Всемирную паутину, соцсети без самой крайней необходимости.

Последнее условие выдвинул Борщов, объясняя это тем, что Всемирная паутина и антисоциальные, как он любил их называть, сети, особенно те, которые выполаскивают мозги, наполняя их приколами и всяким мусором, сильно ограничивают наше творческое воображение. Во-первых, это отрицательный опыт других «лузеров» (Борщов при этом выразительно посмотрел на Артура), которые искомого доказательства не нашли, и наводят на искателей излишние комплексы во-вторых, это постоянные манипуляции сознания и сбивание с толку. Какие-то всезнайки постоянно кричат: это невозможно, это делается лишь так-то и так-то, только у нас о ты, ничтожнейший, получишь шанс со скидкой и так далее… Не даром старина Манфред Шпитцер написал свою скандальную книгу: «Цифровая деменция или антимозг»

[Шпитцер Манфред Антимозг: цифровые технологии и мозг/ Манфред Шnитцер; пер. с немецкого А. Г. Гришина — Москва: АСТ, 2014. — 288 с. ISBN 978-5-17-079721-9].

Ребята приводили аргументы против цифрового «аскетизма», восхваляя работу в группах в коллаборации, плюсы Всемирной паутины, но затем согласились, что не будут читать, смотреть ничего кроме недостающей литературы и переводов на английский язык специальных терминов, на месяц или даже больше заблокируют свои аккаунты в сетях для того, чтобы мобилизоваться к достижению общей цели. Матвей не смог сдержать улыбки вспоминая кличку Борщова — Борщ или профессор кислых щей: когда надо профессор мог быть удивительно занудным и упрямым.

Александр Николаевич молча положил кнопочный мобильник на стол и кивнул на него: дескать, обычной звонилки достаточно, в крайнем случае SMS.

— Словом, звучит все это грандиозно! — прихлопнул в ладоши профессор, и ребята знали: это означает конец диалога и одновременно то, что он доволен встречей.

И тут раздался сигнал бип-бип на часах у Матвея, который вскочил словно ошпаренный кипятком: Ой, у нас начинается День физики в нашей школе, а наш класс отвечает за расстановку приборов для демонстрации экспериментов, у меня осталось уже меньше часа, так что я лечу!

И Матвей оставил дружную компанию единомышленников на самом интересном моменте.

— Ну, уважаемые коллеги, какие ещё у нас остались вопросы? — обращаясь к Татьяне и Артуру подытожил Борщов.

— А почему Вы называете это место Собачьи бутерброды? — совершенно серьёзно спросил Артур.

Татьяна широко улыбнулась.

— Так называется эту пищу на её родине, — пояснил профессор. — Есть такая старая добрая американская комедия Выйти замуж за миллионера, вырастешь — посмотришь :-)

Первые эксперименты

Артур взял пачку стандартный офисной бумаги формата А4, 500 листов я аккуратно распаковал с малой стороны, затем с помощью Татьяны вынул бумагу из пачки чтобы на столе получилось стопка бумаги, уложенная аккуратно в параллелепипед.

— Давай наклоном слегка эту стопку бумаги в бок, сказала Татьяна, чуть влево или вправо. Артур взял цифровой фотоаппарат и отснял полученную фигуру с разных сторон, как принято на уроках черчения: вид сбоку, вид спереди. Скоро фотографии были выведены на большом экране отцовского компьютера.

— Я думаю, ты стреляешь из пушки по воробьям, — заметила Татьяна, — тебе достаточно было обычной металлической линейки, вот эта с миллиметровой шкалой подходящая.

— Но так я смогу провести настоящий эксперимент! — горячо возразил Артур, — и останутся фото результатов, как учил нас Александр Николаевич.

Повторите и найдите ответы

Попробуйте рассчитать толщину листа, исходя из толщины пачки бумаги и количества листов. Затем рассчитайте площадь двумерной фигуры параллелепипеда и его половины — треугольника.

Можно ли утверждать, что площадь двумерной фигуры, которую видит наблюдатель, остаётся постоянной при смещении стопки листов аккуратно в бок, или нельзя?

Что произойдет с итоговой площадью фигуры, если бумага станет толще?

Напомним, что стандартная офисная бумага весит 80 грамм в расчёте на один квадратный метр, есть и более тонкие и соответственно, толстые листы: 180 грамм/ м2, 360 г/ м2.
Представьте себе катушечный (кассетный) магнитофон. Верно ли утверждение, что сумма квадратов радиусов на бобинах кассет остаётся постоянной?

Аналогичный вопрос для клубков шерсти, перематываемых бабушкой при вязании: верно ли утверждение, что сумма кубов радиусов обоих клубков остаётся примерно постоянной? Для простоты можно условно считать, что шерстяная нить несжимаема.

Спичка длиной в один метр

Вечером Артур с отцом поехали закупать бруски и рейки для строительства навеса от дождя над крыльцом дачи. Отец ходил по рядам вертикально расположенных брусков и реек, внимательно рассматривая пиломатериалы разных сечений и качества обработки.

— Вот и решай, Артур, где выгоднее купить: здесь или на базе? — задумчиво поговаривал отец, — у нас есть карточка на пятипроцентную скидку, но там цена определяется кубометрами заказа, за каждый кубометр древесины просят 8000 руб, а здесь…. а здесь счет идет поштучно за трёхметровые и четырехметровые рейки. Шестиметровые бруски, как на базе, лежат вон там в штабелях, — отец показал рукой.

Артур начал прикидывать в уме: погонажный пиломатериал на базе реализуется стандартными брусками и рейками по шесть метров длины, стоимость за один кубометр составляет 8000 руб. Попробуем посчитать все в кубических дециметрах или привычнее в литрах (ведь бывают жидкие гвозди! Наверное есть и жидкая древесина), допустим вот этот брус десять на десять сантиметров — это шестьдесят литров, а каждый литр древесины — это 8 руб., итого 480 руб. стоил бы этот шестиметровый брус на базе или 80 руб. за один погонный метр, что значит 320 руб. за четыре метра, а здесь 620 руб. за те же четыре метра.

— Папа, это грабёж! — радостно воскликнул Артур, наценка сто процентов от цены на базе!

Отец удивленно посмотрел на сына.

Вместе они легко рассчитали стоимость бруса сечением один квадратный сантиметр длиной шесть метров и даже один квадратный миллиметр — вот такая шестиметровая спичка по цене 5 коп. за штуку со скидкой 4%. В результате можно легко производить в уме расчет объёмов любых погонажных изделий: в одних случаях в сантиметрах, в других — в миллиметрах.

В итоге Артур с отцом купили в магазине только материалы тонкой обработки тонкие строганные рейки 10 х 20 мм, наличники для окон 10 х 70 мм в магазине, а остальное -на базе.

Практическое правило:

Для того чтобы быстро и удачно вести переговоры о цене, где требуется сопоставлять трудно сопоставимые объёмы, величины и быстро производить в уме расчёты, рекомендуется выбрать и рассчитать стоимостные и др. характеристики стандартных образцов (шаблонов), на основании которых можно легко производить несложные вычисления. Этот приём универсален, он используется в технике, военном деле, социологических исследованиях, и мы будем обращаться к нему неоднократно.

Смена масштаба не меняет сути явления, но помогает в расчётах.

Глава 3. Подготовка к восхождению

Основы комбинаторики. Треугольник Паскаля

Выходные родители Татьяны и Артура старались посвятить спорту. Погода была самая что ни на есть лыжная: солнце, мягкий лёгкий снег и полное безветрие. И семья из четырех человек решила поехать на базу Локомотив. С разрешения родителей Татьяна пригласила профессора Борщова и Матвея — благо в большом автомобиле семьи было ровно шесть мест. Между Артуром и Татьяной возник спор: кто где будет садиться в авто? Конечно место водителя — не в счёт, остаётся пять свободных мест. Для простоты можно условно считать, что в кресле первого ряда может сидеть как взрослый, так ребёнок. Сколько различных комбинаций возможно?

Перестановки, формулы комбинаторики

Допустим, что все пять пассажиров рассчитались по номерам: 1, 2, 3, 4, 5. Первый пассажир может выбрать любое из пяти мест, второй — любое из оставшихся свободных четырёх, третий — любое из свободных трёх и т. д. В результате имеем:

5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5!

Обобщение. Будем переставлять их всеми возможными способами n объектов, при этом их общее количество остается неизменными, меняется только их порядок. Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно:

Pn =n! =1⋅2⋅3⋅…⋅ (n−1) ⋅n

Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1 и 1!=1.

Перестановкой из n элементов (например чисел 1, 2, … n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.

Число сочетаний

Теперь рассчитаем число сочетаний книг из библиотеки, буккроссинга. На первом этаже подъезда дома Татьяны и Артура инициативная группа создала полку для обмена книгами буккроссинг. Сегодня на полке осталось 7 книг, Все книги были интересными, но Артур решился позволить себе прочитать лишь три книги из-за высокой учебной нагрузки. Каково число вариантов выбора трёх книг из семи?

Чтобы найти ответ надо просто разделить все имеющиеся 7 книг на три подгруппы А, Б, В и мысленно осуществлять перестановки в каждой, их число будет

А) Всего в библиотеке 7 книг или 7! перестановок

Б) Дома у Артура 3 книги или 3! перестановок

В) Осталось в библиотеке 4 книги или 4! перестановок.

при этом не различимы варианты, когда книги остаются в пределах любой из подгрупп: не важно в каком порядке они следуют на полке дома у Артура или остаются стоять в библиотеке. Поэтому имеем:

а общая формула для расчёта числа сочетаний:

Смысл формулы заключается в том, что из возможных перестановок книг, перестановки на самой полке библиотеки буккросинга и личной полке читателя не имеют значения: такие перестановки рассматриваются как равнозначные сочетания. Следовательно общее число перестановок необходимо разделить на число перестановок на библиотечной полке и разделить также на число перестановок на читательской полке.

Число сочетаний это также биноминальный коэффициент. Происходит это наименование из Бинома Ньютона. Несложно раскрыть следующее выражения (a + b) n для случая n = 2, n = 3, n = 4 — легко убедиться, что образуется ряд в виде суммы произведений вида:

здесь знак суммирования обозначается греческой буквой ∑, читается как сигма,

где целое m — это счетчик, пробегающий значения от 0 до n.

Треугольник Паскаля

Треугольником Паскаля называется треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам расположены единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в строке выше (мысленно следует записать ещё по единице слева и справа самой верхней единицы):

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Как легко убедиться в каждом ряду стоит число сочетаний Cnm или биноминальный коэффициент.

Любопытно разложение: (1+1) n = ∑ Cnm

означающая, что сумма любого ряда всех биноминальных коэффициентов равна 2n например 1 +2 +1 = 22 — проверьте для более высоких степеней!

=========================

Родители и Артур взяли на прокат коньки и пошли на ледовый каток. Играла музыка, из-подо льда мигала светодиодная подсветка причудливыми узорами, играла приятная мелодия. Татьяна, Матвей и Борщов предпочли конькам лыжи. Они выбрали трассу Пятёрка — пять километров в хвойном лесу, где были такие причудливые холмы с неожиданными спусками и подъёмами.

Борщов шёл коньковым ходом впереди, плавно, легко, широкими шагами, вслед за ним плавно как на коньках следовала Татьяна, замыкал этот командный забег Матвей, часто семенящий на лыжах.

Борщов сделал небольшой круг, разворот и снова оказался позади Матвея.

— Дружище, надо бы толкаться плавнее, чтобы работали руки и пресс, — показал он Матвею. — Палочка ставится плавно чуть вперёд в сторону движения, корпус догоняет её и работает рука. Плавно налегаем. Ноги пружинят. В результате работа от приложения мускульных усилий преобразуется в кинетическую энергию. Все фазы движения должны быть согласованы.

— Я за этим не успеваю следить! — ответил Матвей.

— А следить и не надо — надо чтобы красота движения была отработана до автоматизма. Красота — это значит эффективное движение, это принцип наименьшего действия, есть такой в физике… И главное, ощущение хорошей внутренней игры, как говаривал старина Тимоти Голви!

На двадцать шестой минуте группа подошла к финишу.

— Неплохо, отметила Татьяна, — а давайте сдадим лыжи в прокат и посидим в кафе на лыжной базе, пока наши фигуристы катаются на коньках.

Всё пропало, все пропало!

Вся дружная компания прошла в кафе «Локомотив». Заказали чай и пирог с яблоками.

— Ну как продвигается дела с Великой Теоремой? — спросил профессор Борщов.

— Честно говоря, я даже не хотел идти на лыжах — ответил Матвей. — Все мои идеи оказались провальными. Я перепробовал пирамиды, квадратичную и другие системы координат, гиперцилиндры, гиперконусы и гиперкруги, но это заводило меня в такие дебри ….

Борщов понимающе кивал: дескать, ничего страшного, так оно и бывает. И рассказал анекдот Юрия Никулина о том, как в самолёте первым классом летела команда моряков. Все во главе с капитаном дружно уснули. И только бодрствовал попугай, который, сидя на спинке кресла капитана, снова и снова повторял: пр-р-ропали мы, пр-р-ропали! Скорчив гримасу Борщов рассказал этот анекдот, что называется «в лицах». Все дружно рассмеялись и напряжение исчезло. Еще продолжая смеяться, Матвей продолжил:

— Но вчера, складывая вещи в рюкзак, я заметил, как укладывается шарф под крышкой рюкзака. Она у меня напоминает усечённую пирамиду. Я подумал, что слои большого должны последовательно, без единого пропуска, уместиться в малом кубе целое число раз, чтобы не нарушить принцип симметрии фигуры.

— Ты имеешь ввиду, что слой или несколько слоёв из большого должен уместиться в малом кубе? — уточнила Татьяна. — Но ведь там просто нет свободного места. И вообще, что значит перемещать слои?

— Я предлагаю зафиксировать ребра вложенных друг в друга гиперкубов a, b, c и наполнить всю эту фигуру несжимаемыми гиперкубиками, затем опустошить a-Малый гиперкуб. — Матвей достал несложный чертёж, уже хорошо всем знакомый.

— А эта стрелка, надо полагать, обозначает перемещение слоя? — спросил Борщов.

— Да, и если вспомнить, формулировку Теоремы Ферма в геометрической форме, то объемы а-Малого гиперкуба должны быть равны разнице объемов между с-Большим и b-Средним гиперкубами. Я думаю, что они должны быть равны послойно.

— Почему?

— Потому что, в противном случае от перемещения слоёв будут нарушены фундаментальные свойства нашей фигуры: непрерывность и симметричность, а также принцип изотропности пространства.

— Хорошо, что среди нас нет Артура, он бы сейчас обязательно сказал: не понимаю! — с долей иронии заметила Татьяна.

— А я отвечу, что свойство непрерывности, это значит заполнение фигуры гиперкубиками без пустот, подобно срезу осины, где видны кольца без сучка и задоринки, без дупла. Свойство однородности — это однородный материал что значит гиперкубик в любом слое остается таким же гиперкубиком, словно строительный кирпич. Симметричность — как угодно вращай нашу фигуру, меняй местами оси координат — получишь один и тот же результат. — уверенно продолжал Матвей.

— И наконец, изотропность пространства это … — пригласил к продолжение диалога проф. Борщов.

— … это происходит из греческого trópos — поворот направление и означает одинаковость картины мира по всем направлениям. — быстро ответил Матвей. — Так оно и есть в Космосе, в дали от звёзд. Космонавт видит по всем направлениям примерно одно и то же. Проще говоря, наш гиперкубик центрально симметричен.