Бесплатный фрагмент - Матрицы. Определители и их свойства

Понятия об определителях и их основные свойствах.

Об операциях с матрицами..

Введение

Этой книгой я начинаю курс практических занятий по Линейной алгебре, которые я проводил со студентами университета культуры и искусств в городе Санкт — Петербурге. Параллельно с этим, на порталах «Инфоурок « и «Знание» появились и мои авторские материалы в виде статей, презентаций, рабочих программ и т. д. Одно из доказательств этого — СВИДЕТЕЛЬСТВО № ЯЙ 70400661 от 27.01.2022г. показано в Приложении.

1. Матрицы и операции над ними

Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий.

Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.

Матрицы широко используются для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, шифрования сообщений в Интернете и т. д.

Таким образом, матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, например A, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:

Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется m×n матрицей или матрицей размера m×n.

Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы — слева направо (см. рис.1):

Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде ai j, а выражение A = || ai j || означает, что матрица A составлена из элементов ai j. (см. рис.2):

Матрица (см. рис.2.) размера 1×n называется матрицей-строкой или вектором-строкой.

Матрица (см. рис.3.) размера n×1 называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.

Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.

Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера n×n. Такие матрицы называются квадратными (см. рис.4).

При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3x3 (см. рис.5)

Единичную матрицу обозначают буквой E или I.

1.1.Равенство матриц

Матрицы A = || ai j || и B = || ai j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

1.2. Умножение матрицы на число

Умножать на число можно матрицу любого размера. При умножении матрицы A на число λ каждый ее матричный элемент умножается на это число:

В результате получим новую матрицу В.

1.3.Сложение матриц

Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j ||, элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

Складывать (и вычитать) можно матрицы только одного размера!

1.4.Вычитание матриц

1.5.Умножение строки на столбец

Пусть А = — матрица-строка размера 1×n, и пусть В — матрица-столбец размера n×1. (Иначе говоря, пусть число элементов в строке матрицы A совпадает с числом элементов в столбце матрицы B.)

Тогда произведением AB называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих матричных элементов:

Если матрица A содержит m строк, а матрица B — n столбцов, то произведение AB представляет собой m×n матрицу, i,j-ый элемент которой вычисляется по правилу умножения i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы B. Например, при умножении двухстроковой матрицы: