Бесплатный фрагмент - Все науки. №8, 2023

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О КРАТКОМ АНАЛИЗЕ НА ОПРЕДЕЛЁННОМ ПРОМЕЖУТКЕ ГИПОТЕЗЫ КОЛЛАТЦА

Алиев Ибратжон Хатамович

Студент 3 курса факультета математики-информатики Ферганского Государственного Университета

Ферганский Государственный Университет, Фергана, Узбекистан

Аннотация. Современные исследования в области математики, в том числе теории чисел развиваются достаточно активно, однако, среди большого количества самых различных математических моделей, описывающие различные явления природы существуют и те, которые находятся в ряду не решённых математических задач. К ним сегодня можно отнести так называемую гипотезу Коллатца, описанию на границах коих и направлена настоящая работа.

Ключевые слова: математика, исследование, физико-математическое моделирование, теория чисел, функция.

Annotation. Modern research in the field of mathematics, including number theory, is developing quite actively, however, among a large number of very different mathematical models describing various natural phenomena, there are also those that are among the unsolved mathematical problems. Today we can refer to them the so-called Collatz hypothesis, the description of which is directed at the boundaries of this work.

Keywords: mathematics, research, physical and mathematical modeling, number theory, function.

Сама гипотеза Коллатца является одной из самых простых не решённых задач, известные на сегодняшний день. Она представляет собой утверждение, что пусть берётся некоторое натуральное число и если оно не чётное, то оно умножается на 3 и после прибавляется единица или точнее выполняется функция 3x+1, если же число чётное, то оно делиться пополам. Таким образом, получается разделённые вид функции гипотезы Коллатца (1).

Далее, полученный результат в (1) может повториться. Так, настоящую модель можно определить для числа 7, которое является не чётным и выполняется первая функция, получается 22 — чётное число. Теперь выполняется вторая функция и получается 11 и т. д. В целом, этот ряд выглядит следующим образом (2).

Теперь можно выбрать другое число, к примеру 9 (3), 8 (4) или 6 (5).

Во всех случаях можно наблюдать одну и ту же закономерность, что в конце концов получается цикл 4, 2, 1, который и будет повторяться каждый раз до бесконечности. И идея гипотезы Коллатца заключается в том, чтобы доказать, что все натуральные числа приведут к настоящему циклу. Но примечательным является то, что диаграмма такой модели имеет интересную хаотичную схему со своими точками максимума и минимума. Именно анализу изменения графиков функции гипотезы Коллатца посвящена настоящая научная работа.

Изначально, стоит записать модель функции (1) в общем виде (6).

Так, можно подставить некоторые числа получая подходящие значения для чётных и не чётных чисел (8—9), однако, перед исследованием стоит заметить, что исключением является число ноль, которое заключает единственный отличающийся от циклов всех натуральных чисел цикл, состоящий из 2 элементов (7).

Для общего же ряда функции, получаем представление (10).

Итак, изначально стоит обратить внимание на анализ проводиться с использованием 110 этапов повторного оперирования и на этом промежутке отчётливо видны первоначальные пики на графике анализа натуральных чисел в промежутке от 1 до 10 (Граф. 1).

В данном случае можно будет наблюдать, что с увеличением чисел можно наблюдать отдельные пики, количество которых начинает с каждым разом возрастать, становясь хаотичным. Некоторые значения уже в своём начале могут принимать большие показатели функции, доходя до малого количества этапов, с каждым разом всё больше и больше приходя к повторному циклу, что видно на продолжении правой части каждой из функций. Далее анализ графика продолжается в следующем промежутке от 10 до 20 можно наблюдать увеличение высоты пиков функции, хотя плотность расположения каждой из функции также растёт. Более отчётливо это видно, при рассмотрении продолжения функции в правой части — на фоне циклов, где корреляция становиться всё более очевидной (Граф. 2).

При продолжении анализа можно обратить внимание на интересный подход в том, что после 20 функции изменяются и уровень наложения каждой одной на другую с каждым разом начинает всё больше и больше возрастать, приводя к тому, что уже при анализе числе от 17 до 27 уровень корреляции становиться максимальным. Это можно также наглядно проследить на Графике 3, где хоть какая-то разность наблюдается только в начале графиков, а уже ближе к увеличению количества операций, все функции всё больше объединяются, приводя в результате сначала к малым возрастающим пикая, которые словно чередуются в увеличении и уменьшении. Далее эта тенденция увеличивается на одном большом возрастании, после чего идут более малые, но всё же возрастающие пики, приходя к двух максимальным большим пикам, завершаясь только заключительными пиками, опять возвращаясь к форме цикла, которая на общем фоне больше подобна прямой. В этом случае, стоит обратить ещё внимание на то. Что рост графика относительно центральных пиков происходит более плавно, нежели спад, что на удивление достаточно хорошо описывает примеры реальных физических явлений, при представлении их графиков.

Если же проводить сопоставление с значениями от 20 до 30, то можно заметить, что график хоть и сохраняется, но уровень совпадения указанных графиков на протяжении 110 элементов начинает уменьшается с каждым разом и что ещё пуще становиться заметным при рассмотрении на начальных этапах функции, что ещё было заметно в предыдущем графике, однако в данном случае этот эффект усилился, хотя общее завершение графика также сохранилось, сохраняя то же условие приближения к уровню сведения до состояния прямой при колебаниях (Граф. 4).

Более значительные изменения, но вместе с этим высокий уровень совпадения наблюдается при рассмотрении всё тех же больших пиков графиков на промежутке от 30 до 40. При этом уменьшение корреляции наблюдается в моменте начального состояния графика. Однако, ещё одной отличительной чертой очередного уровня графика, в отличие от предыдущего является ещё и появление прямой линии, уровень которой всё чаще уменьшается ближе к увеличению количества ступеней, общее количество элементов коих продолжают оставаться Граф. 5.

Однако, тенденция сохранения совпадений функций теряется уже сразу в следующем промежутке от 40 до 50 для тех же 110 элементов. В данном случае, сама картина графика представляется уже несколько иначе. Если говорить о её начальном положении, то действительно разности функций продолжают несколько увеличиваться, однако с увеличением ступеней, можно наблюдать картину, когда верхняя функция начинает выделяться, а прочие функции соединяются с прочими графиками образуя оранжевую линию. На сей раз жёлтая верхняя функция начинает отчётливо возрастать, каждый раз увеличиваясь на определённые пики, после чего график вновь спадает, но достаточно быстро начинает вновь набирать рост. Эта стадия роста на удивление носит довольно интересный характер, ибо здесь виднеется двойная стадия удвоения пиков, после чего выходит следующий малый, но также удвоенный пик, между каждым из которых наблюдается увеличение, однако, сравнительно не большое. Затем эта ситуация вновь повторяется для следующих максимальных пиков, после чего следует резкий и достаточно быстрый спад, после коего вновь ситуация сводиться до состояния малых ростов до уменьшения общей картины до стандартных малых колебаний в цикле — сравнительно образуемой прямой линии. Вторая же функция в данном случае имеет несколько иной более единичный характер по причине того, что корреляция наблюдается для первых единичных пиков, после чего следует более быстрый спад на конце Графика 6.

Картина описанная для ситуации от 40 до 50 сохраняет свою определённую ролевую модель для последующего графика для чисел от 50 до 60, что можно проследить, во время его анализа, однако, в этом случае на роль верхней и нижней максимальной функции разумеется выступают уже другие значения, которые к тому же носят в себе более резкий увеличивающийся характер, это наряду с прочим можно проследить во время анализа максимальных и средних изначальных пиков, после коих было малое падение, а после максимальных — более резкое, как видно, с большим совпадением для пиков на Графике 7.

Таким образом, в дальнейшем представляются графики для промежутков от 60 до 70, где на удивление вновь можно наблюдать резкое увеличение корреляции, когда же часть функций опускается вниз в качестве отдельной линии, а одна единственная выступает в качестве единственной верхней коррелирующей (Граф. 8). В дальнейшем график вновь начинает изменяться для промежутка от 70 до 80 и состояние, описанное в раннем промежутке для промежутка от 40 до 50, можно будет наблюдать увеличение количества пиков в начале до двух классов, а в центре трёх больших максимальных пиков, где можно наблюдать ситуацию, где основной план описывает главная жёлтая функция, корреляция с которой увеличивается для красной функции на третьем пике и с малым вторым центральным правым пиком, откуда можно проследить схожесть картин, но с заметным смещением на Графике 9.

Продолжение исследования позволяет пронаблюдать схожесть промежутка от 17 до 27, от 20 до 30, от 60 до 70 и от 80 до 90, без малых отличительных черт, что видно на Графике 10. А ситуация для промежутка от 90 до 100 является одной из самых красивых образов, поскольку здесь практически каждый график не похож на другой, хотя в большинстве из них сохраняют свою определённую тенденцию, как видно на Графике 11. После чего уже промежуток от 190 до 200 принимает более упорядоченный красивый образных вид, где большинство функций принимают свой общий, единый вид, однако с различным уровнем смещения с уменьшением степени корреляции для каждой из них (Граф. 12).

Это отличие начинает уменьшаться при анализе Графика 13 для чисел от 290 до 300, где можно обратить внимание на уже более чётко выверенную и довольно красивую картину. Этот аспект уже начинает изменяться, идя к увеличению степени различающихся свойств между функциями от 390 до 400, как видно на Графике 14. Последующее увеличение степени промежутков приводит к продолжению такой тенденции, что наглядно видно в кардинальном отличии с образованием настоящего хауса в промежутке от 490 до 500, так что даже когда большинство функций уже пришли к конечной форме, некоторые функции начинают продолжать увеличиваться образуя массивные пиковые формы (Граф. 15).

Продолжение роста границ приводит к дальнейшему увеличению, так начальная форма графика начинается с резкого увеличения, после уменьшаясь, после чего продолжаясь на максимальных пиках, что ранее никогда не повторялось, учитывая, что дальше графики спадают и затем вновь резко возрастают до двух пиков (Граф. 16). Далее, ситуация с небольшим различием продолжается на моменте от 690 до 700, при этом имея резкое смещение больших пиков, имея удлинении в начальной разности и дальности начального малого класса пиков (Граф. 17). И казалось бы, ситуация с корреляцией может быть увеличена, однако, согласно графикам для значений от 790 до 800, от 890 до 900, от 990 до 100 сохраняют вид хауса (Граф. 18—20).

В результате произведённого анализа можно было наглядно увидеть изменение картин графиков для самых различных промежутков при проверке гипотезы Коллатца, каждая из коих имеет своё важное значение, находя своё применение в самых различных сферах. И можно сегодня надеяться на нахождение в будущем возможности разрешения этой проблемы в лице доказательства этой гипотезы, либо её опровержения.

Использованная литература

1. Хэйес Брайан. Влёты и падения чисел-градин // В мире науки (Scientific American, издание на русском языке). — 1984. — №3. — С. 102—107.

2. Стюарт Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

3. Jeff Lagarias. The 3x+1 problem and its generalization // American Mathematical Monthly. — 1985. — Vol. 92 — P. 3—23.

4. Алфутова, Н. Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ / Н. Б. Алфутова, А. В. Устинова. — М.: МЦНМО, 2018. — 336 c.

5. Алфутова, Н. Б. Алгебра и теория чисел: Сборник задач для математических школ / Н. Б. Алфутова, А. В. Устинова. — М.: МЦНМО, 2009. — 336 c.

6. Арнольд, И. В. Теория чисел / И. В. Арнольд. — М.: Ленанд, 2019. — 288 c.

7. Боревич, З. И. Теория чисел / З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич. — М.: Ленанд, 2019. — 504 c.

8. Босс, В. Лекции по математике: Теория чисел / В. Босс. — М.: Ленанд, 2014. — 224 c.

9. Босс, В. Лекции по математике т.14: Теория чисел / В. Босс. — М.: КД Либроком, 2010. — 216 c.

10. Босс, В. Лекции по математике: Теория чисел / В. Босс. — М.: Ленанд, 2017. — 224 c.

11. Босс, В. Лекции по математике: Теория чисел / В. Босс. — М.: Ленанд, 2019. — 224 c.