электронная
36
печатная A5
368
16+
Путешествие в квантовую механику

Бесплатный фрагмент - Путешествие в квантовую механику

Объем:
104 стр.
Возрастное ограничение:
16+
ISBN:
978-5-4498-1610-8
электронная
от 36
печатная A5
от 368

1. Введение

Редукционный подход к квантовой механике пытались искать весь XX век. Многое удалось сделать, но осталось немало открытых вопросов. Именно в этой книге мне хотелось бы поднять вопросы фундаментальности этой теории. Редукция этой науки опирается в этой работе на мои собственные размышления над квантовой механикой. Не касаясь ядерных взаимодействий, мне хотелось бы остановиться на нерелятивистских явлениях, при этом релятивистскую составляющую не следует отрицать, поэтому предлагаю нам отправиться в путешествие в удивительный мир этой науки. Эта книга несёт в себе цель разъяснить квантовую механику с помощью нового подхода, который предлагает автор для путешествия в мир науки.

Квантовая механика во многом опирается на интуицию и подсчёт численных результатов сложных вариационных уравнений, заменяя численные результаты принципами. Но направление к выводу этих принципов, данное в этой книге, в некотором роде позволяет убедиться в наглядности и несложности аналитического решения уравнения Шредингера. В книге мне хотелось бы провести линию вдоль большинства квантово-механических явлений, объясняя их лишь с помощью самых простых математических средств, доступных нам на сегодняшний день.

Книга является в некотором роде эксклюзивной, потому что в ней сведены авторские научные изыскания, совместно с видением собственного подхода к квантовой механике.

Мне хочется, чтобы прочтение книги «Путешествие в квантовую механику» обернулось не только пониманием изложенного материала, но и применением некоторых математических выкладок с вашей стороны. С таким подходом к изложенному материалу будет полезнее осуществить погружение в загадочный мир квантовой механики. Мне хочется надеяться, что книга найдёт своего читателя, как посвящённого в науку микромира, так и новичка, только что начавшего изучение этого раздела физики.

Целью написания этой книги служит не только попытка иного толкования квантовой механики, но и некоторая надежда на её развитие. Как однажды сказал Р. Ф. Фейнман: «Посмотрите на мир с другой стороны». Мне хотелось бы, чтобы эта фраза стала девизом для этого небольшого манускрипта.

Контакты для связи: vk.com/garrydipray, iganmer@gmail.com

2. Интуитивный и эмпирический вывод уравнений

В данной главе будут рассмотрены два варианта вывода тождеств на примере уравнения Шредингера и эмпирического подхода к фундаментальным уравнениям физических процессов. Справедливость зависимостей эмпирических процессов изначально можно поставить под сомнение, но результаты измерений искомых величин говорят об обратном, то есть о справедливости применения практического подхода. Вид уравнений, которые я называю эмпирическими, это законы, вывод которых получен экспериментальным путём.

Начну эту книгу с вывода уравнения Шредингера. Обычно такой подход к уравнению указывает на интуитивность его вывода, однако, покажем ниже, что эта интуитивность вполне логична.

2.1 Волны Де Бройля

В 1924 г французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер (электрон может одновременно являться и волной, и частицей). Согласно гипотезе де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия E и импульс частицы p связаны с круговой частотой ν, длиной волны λ и приведённой постоянной Планка ħ соотношениями:

Первое, что следует сделать для вывода уравнения Шредингера, это записать закон сохранения энергии для волны де Бройля. Полная энергия E представляет собой сумму кинетической энергии Ek и потенциальной энергии U (x,y,z):

где M — масса частицы. T — период волны Де Бройля.

Длину волны Де Бройля можно выразить через скорость V:

Непосредственный вывод уравнения Шредингера следует производить в четырёхмерном пространстве координат-времени. Для этого рассмотрим бесконечно маленький объём в таком пространстве. Для закона сохранения энергии на комплексной плоскости волны Де Бройля справедливо:

Выполним следующие преобразования, где t — время, а x — координата:

Вывод, который можно почерпнуть из этих преобразований, гласит: для справедливости уравнения Шредингера необходимо вводить новую функцию под знак производной, так как в процессе преобразований получился оператор, который характеризует закон изменения энергии в исследуемых волнах Де Бройля. Такой функцией принято обозначать волновую функцию ψ. Тогда:

Полученное уравнение носит своё название в честь учёного, который обобщил волны Де Бройля, получив выражение, которое как мы убедимся ниже, сыграло огромную роль в развитии теоретических и практических результатов. Этим учёным был Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шредингер.

2.2 Эмпирический метод получения законов физики

В школьной программе принято брать на веру фундаментальные законы физики, например, закон Кулона или закон Ньютона для гравитационной силы. В этом разделе повествование пойдёт о получении подобных законов, так как их целесообразно применять в любой сфере научного знания.

Определим понятие «зависимости» физических величин, свойства которых определяются изменениями прочих независимых переменных. Согласно формулировке о зависимости силы от функции fi (xi) переменной xi, заданные функции перемножаются между собой, если они независимы. Так силу можно определить из общего выражения:

Выберем в качестве примера закон Кулона.

f1 (x1) — произведение зарядов q1q2.

f2 — коэффициент пропорциональности k.

f3 (x3) — квадрат расстояния между частицами f3 (x3) =|r1-r2|2. ri — радиус-вектор построенный в точку с зарядом qi.

Нам известно из эксперимента, что сила Кулона прямо пропорциональна f1 (x1) и f2, но обратно пропорциональна f3 (x3).

Запишем закон Кулона в той форме, в которой он был получен:

Если величины fi (xi) зависимы друг от друга, такое также нередко бывает, тогда прибегают к сложению зависимых функций вдоль координаты xi, от которой определяется зависимость.

Функции fi (xi) могут носить более сложный математический характер, нежели «степенная» функция. Часто эмпирическим методом невозможно вывести тот или иной закон. Тогда исследователи прибегают к составлению дифференциальных уравнений, например, в частных производных. Решение последних затруднено невысокой производительностью современных компьютеров, и тогда для таких целей используют суперкомпьютеры.

Пришло время ознакомить читателя с третьим разделом этой книги, чтобы он имел представление о технических трудностях определения начальных условий в стационарном и нестационарном уравнениях Шредингера. Конечно, мной не ставится цель объяснить сразу суть уравнения, но в последующих главах мы разберём и это. Здесь продемонстрирован метод квазианалитического решения произвольно заданных дифференциальных уравнений в частных производных.

3. Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

В этой главе будет рассмотрен квазианалитический подход для решения дифференциальных уравнений в частных производных, который содержит в себе аналитическое описание результата искомой функции и численный метод эволюции её во времени. Подобные численные методы уже существуют, но они чаще всего не являются по своей природе аналитическими, поэтому мне хочется обобщить предыдущие знания с помощью нового подхода.

3.1 Интерполяция рядами Фурье

Рассмотрим тригонометрический ряд Фурье в одномерном случае. Преобразуем его в качестве набора линейных функций, отображаемых на участке (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x на отрезке (0,R), где Δx — шаг между линейными комбинациями Fk, k — это номер вычислительной операции, k∈N, а R — координата граничного условия:

Тригонометрический ряд для произвольной дифференцируемой кусочно-линейной функции F (x,y) на отрезках (kΔ x, (k+1) Δx) для x и (jΔy, (j+1) Δy) для y:

Для трёхмерного случая x∈ (0,Rx), y∈ (0,Ry), z∈ (0,Rz), где: Rx, Ry, Rz — координаты граничных условий:

Так для функций F (x,y,z), F (x,y), F (x) из выбранных систем координат на отрезках (hΔxg, (h+1) Δxg), где g — индекс координаты, а h — номер итерации, выстраивается произвольная кривая или поле дифференцируемых произвольных функций.

3.2 Квазианалитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных

Пусть Q∈C, что является решением произвольного дифференциального уравнения в частных производных. Обозначим функции a, b, как вещественную и мнимую часть тождества Q=a+ib соответственно. Для примера квазианалитического метода выберем дифференциальное уравнение, численный метод которого состоит в применении метода Эйлера. Заметим, это не единственный применяемый способ решения, но в рамках данной книги остановимся на нём, как на простом и более наглядном. Общий вид дифференциального уравнения в частных производных выглядит:

ReD и ImD — вещественная и комплексная часть функции D.

Выразим через ряд Фурье решение Q:

Частные производные порядка s по координате xi в D:

Здесь ni и Ri — коэффициенты при координате xi.

В случае расходимости ряда (3.2) применяется следующее преобразование:

Поле для каждой точки ∂sQ/∂xs строится согласно уравнению (3.3). Затем выполним пересчёт для D таким образом, что каждой выбранной точке на D ставится в соответствие отрезок (hΔxg, (h+1) Δxg), как было предложено в разделе «Интерполяция рядами Фурье»:

Рассмотрим частную производную решения по времени:

Вместо Q0 подставляется Q из тождества (3.1).

a1 и b1 указывают на новую итерацию по времени Δt для решения дифференциального уравнения Q. Тогда:

В этом тождестве имеется общий член exp (iπnx/Rx+iπmy/Ry+iπlz/Rz) / (RxRyRz), справедливо, что его можно опустить, следовательно:

Тогда для вещественной части:

для мнимой части уравнения:

В следующей итерации по времени в качестве решения Q подставляется тождество Q1:

Производится переход к уравнению (3.1), пока не будет достигнуто условие VΔt> T, здесь T — время от начальных условий до конечного искомого результата, V — количество итераций во времени, Δt — величина шага по времени.

3.3 Частный случай решения

В предыдущем подразделе был разобран более общий случай решения дифференциального уравнения на комплексной плоскости. Условимся рассматривать линейные дифференциальные уравнения для частного случая решения. Когда заданы граничные условия Q (0,t) =0 и Q (R,t) =0 в одномерной системе координат, тогда в вычислениях для частного случая применяется подход вещественных значений Q∈R, тогда выражение (3*) примет вид:

Тождество (3.1) преобразуется к виду:

Для операции дифференцирования выражение (3.3) выглядит:

для всех s — чётных. p — индекс координаты.

Выражение для функции D преобразуется:

Решение для новой итерации (3.5) преобразуется к виду:

Как видно из выражения (3.6), коэффициенты ряда Фурье следующей итерации легко выражаются через коэффициенты ряда Фурье предыдущей итерации в случае чётного коэффициента s.

Уравнение Шредингера с постоянной потенциальной энергией является линейным, с чётным коэффициентом дифференцирования s, следовательно уравнение может иметь подобное квазианалитическое решение. Более того, если заменить решение на Q=ψ (t) ψ (x) ψ (y) ψ (z), тогда уравнение Шредингера разрешимо относительно ψ (t). Следовательно, для постоянной потенциальной энергии U:

Аналитическое решение для волновой функции:

Коэффициент C0 определяется из тождества ограниченности вероятности

под обозначением ψ* понимается комплексно-сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности появления частицы в точке с координатами (x,y,z) называют соотношение ψψ*.

Следовательно:

n,m,l — значения, соответствующие квантовым числам расположения электрона на энергетических уровнях.

Постоянство потенциальной энергии не такое редкое явление в расчётах. Например, по закону Кулона для энергий рассчитывают строение молекулярных структур. Структура стабильна при локально минимальной сумме энергий ΣiΣj, j≠iUij всех кулоновских взаимодействий, описываемых тождеством:

Волновая функция ψ — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Сама волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается плотности вероятности.

В главе 4 рассмотрен подход, с помощью которого можно получить общее аналитическое решения уравнения Шредингера для произвольной функции потенциальной энергии U (x,y,z). Метод следующей главы способен описать большинство явлений квантовой механики и дать объяснение редукции Фон Неймана (коллапса волновой функции).

4. К аналитическому решению уравнения Шредингера в Rn

В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения (вариационные), не поддающиеся единственному аналитическому решению. В качестве общего аналитического решения дифференциального уравнения принимается решение уравнения Шредингера в декартовой системе координат.

4.1 Уравнение Шредингера

Во второй главе было выведено уравнение Шредингера. Обобщим его, записав в следующей форме:

Волновая функция ψ выражена семейством функций. Под Δ обозначают ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2…, под ∂t обозначают ∂/∂t, под a=ħ2/ (2M). В дальнейшем в этой главе мы откажемся от многомерного случая и будем рассматривать только одномерный случай:

Бесплатный фрагмент закончился.
Купите книгу, чтобы продолжить чтение.
электронная
от 36
печатная A5
от 368