Бесплатный фрагмент - Путешествие в квантовую механику

1. Введение

Квантовая механика формировалась на протяжении XX века. Многое удалось сделать, но осталось немало открытых вопросов, исследование которых постепенно перешло в новое тысячелетие. В этой книге мне хотелось бы поднять вопрос о фундаментальности квантовой физики. В процессе изучения материала данной работы мы рассмотрим исключительно нерелятивистские явления.

Главной причиной для проведения настоящего исследования послужила некоторая надежда на дальнейшее развитие квантовой физики. Однажды Р. Ф. Фейнман сказал: «Посмотрите на мир с другой стороны». Именно с этой фразы мне хотелось бы начать данную книгу.

2. О фундаментальных законах физики

В этой главе будут рассмотрены два метода, с помощью которых можно сформулировать тот или иной физический закон, описывающий явления и процессы, происходящие в природе. Первый метод построен на исследовании дифференциальных соотношений, дающих математическое обоснование физической реальности, а второй неразрывно связан с определением зависимостей в заданном наборе функций. Последние могут быть получены опытным путём или найдены в результате экстраполяции значений, входящих в состав решения того или иного дифференциального уравнения.

Справедливость методов, которые сформулированы на основе анализа экспериментальных данных, изначально можно поставить под сомнение. Однако, применяя эмпирический подход на практике, возможно дать математическое обоснование целому ряду физических явлений и процессов, происходящих в природе.

Начнём этот раздел с вывода уравнения Шрёдингера. Методика, которая позволяет определить корреляции между величинами, входящими в состав указанного уравнения, носит интуитивный характер. Примечательно, что данное допущение не является ошибочным.

2.1 Вывод уравнения Шрёдингера

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Исходя из гипотезы де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения веществом. На комплексной плоскости полную энергию Ep` и импульс частицы P` возможно выразить через круговую частоту ν, длину волны λ и постоянную Планка h, тогда:

где k`=1/λ; ħ=h/ (2π) — приведённая постоянная Планка.

В первую очередь сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Величина Ep` представляет собой сумму кинетической Ek и потенциальной Up (x,y,z) энергии, следовательно:

здесь M — масса частицы; T``` — период волны Де Бройля.

Длину волны Де Бройля можно выразить через скорость υ, тогда λ=υ/ν.

Вывод уравнения Шрёдингера следует производить в трёхмерном пространстве C3, но для упрощения вычислений будем использовать одномерную систему координат. Закон сохранения энергии, составленный для волны Де Бройля на комплексной плоскости, можно представить в виде тождества:

Кроме того

где t — время, а x — координата.

В результате математических преобразований, разобранных в данном параграфе, был найден дифференциальный оператор, который представляет собой закон сохранения энергии, выраженный для волны Де Бройля. Таким образом, необходимо ввести новую переменную под знаки производных. Искомую величину принято обозначать как волновую функцию ψp, тогда:

Данное дифференциальное уравнение с частными производными было названо в честь Эрвина Шрёдингера.

Исходя из полученного выражения, можно определить оператор импульса P`, следовательно:

2.2 Эмпирический метод

Обычно с изучением школьной программы принято «брать на веру» справедливость основных положений, позволяющих осуществить вывод фундаментальных законов физики. Для того чтобы выполнить дальнейшие математические преобразования, необходимо определить понятие «зависимости физических величин». Последние могут быть выражены через изменение прочих независимых переменных.

Исходя из формулировки о зависимости величины F от функций fj (xj), полученных для переменных xj, заданные выражения fj (xj) следует перемножать между собой только в том случае, когда они окажутся независимыми. Иначе говоря, изменение функции fj (xj) будет происходить без взаимного влияния её значений на другие выражения fo (xo), o≠j. Потребуем, чтобы количество независимых переменных соответствовало коэффициенту N``. Итак, соотношение F можно представить в виде тождества (2.1). Параметр γj будет численно равен константе (+1 или -1), которая представляет собой степень функции fj (xj) γj, тогда:

Наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия. Таким образом, следующие выражения могут быть заданы как независимые между собой функции:

f1 (x1) — произведение зарядов q1q2;

f2 — коэффициент пропорциональности K;

f3 (x3) — квадрат расстояния между частицами f3 (x3) =|r1-r2|2;

rκ — радиус-вектор, построенный из начала координат в точку с зарядом qκ, κ=1,2.

Хорошо известно, что сила Кулона прямо пропорциональна f1 (x1) и f2 (γ1=γ2=1), но обратно пропорциональна f3 (x3) (γ3=-1).

Запишем закон Кулона, вид которого можно получить из анализа экспериментальных данных, следовательно:

Если величины fj (xj) и gj (xj) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет тождество:

Функции fj (xj) и gj (xj) могут носить более сложный математический характер, нежели степенные выражения. Довольно часто с помощью эмпирического метода невозможно описать тот или иной закон природы, тогда исследователи прибегают к составлению дифференциальных уравнений. Разрешить последние иногда бывает затруднительно вследствие невысокой производительности современных компьютеров. В подобных случаях используют суперкомпьютеры.

В следующей главе этой книги будет рассмотрен метод, направленный на решение дифференциальных уравнений с частными производными.

3. К вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных

Опираясь на методику, которая будет разобрана в данном параграфе, можно численно решить любое дифференциальное уравнение и выявить характерные черты эволюции искомой функции во времени.

3.1 Интерполяция с помощью рядов Фурье

Допустим, что задан набор линейных функций Fk, расположенных на отрезках (kΔx, (k+1) Δx) вдоль оси x ∈ [0,Rx], тогда:

здесь Δx — размер интервалов, куда заключены значения выражений Fk; k — номер вычислительной операции, k∈N.

Тригонометрический ряд, который можно получить для функции F (x,y,z), задаваемой на отрезках (k Δx, (k+1) Δx) для x ∈ [0,Rx], (j Δy, (j+1) Δy) для y∈ [0,Ry] и (χ Δz, (χ+1) Δz) для z∈ [0,Rz], примет следующий вид:

где Θ — индекс, соответствующий той или иной оси координат xΘ.

Построим кусочно-линейную функцию F (x), тогда:

3.2 Решение дифференциальных уравнений с частными производными

Пусть Q``∈C является решением произвольно заданного дифференциального уравнения в частных производных. Введём обозначения для функций a*, b*. Значения рассматриваемых выражений будут соответствовать вещественной a*=Re (Q``) и мнимой b*=Im (Q``) части тождества Q``=a*+ib*. Для того чтобы численно решить вырожденное дифференциальное уравнение, необходимо с помощью метода Эйлера определить закон изменения функции Q`` во времени. Следует отметить, что рассматриваемый подход не является единственным в своём роде. Однако в рамках данной книги остановимся на нём как на простом и наиболее наглядном. Любое параболическое дифференциальное уравнение с частными производными возможно преобразовать к общему виду, тогда:

Разложим в ряд Фурье решение Q``, следовательно:

Определим частные производные порядка sd по координате xΛ, входящие в состав выражения D, тогда:

здесь nΛ и RΛ — коэффициенты при координате xΛ.

Вместе с тем

Осуществим интерполяцию выражения D. Если рассматривается одномерный случай, то каждой точке, расположенной на оси D, необходимо поставить в соответствие отрезок (kΔxΘ, (k+1) ΔxΘ), находящийся на оси xΘ. Следовательно, в трёхмерном пространстве справедливым будет соотношение:

где x∈ [-Rx, Rx]; y∈ [-Ry, Ry]; z∈ [-Rz, Rz].

Определим частную производную решения Q`` по времени, тогда:

Последнюю формулу возможно преобразовать к виду:

Выражения Q0 и Q`` будут тождественно равны друг другу в рамках одной итерации. Подставим величины Q1, D и Q`` в уравнение (3**), а затем произведём обратное преобразование Фурье. В результате получим соотношение:

С каждой новой итерацией по времени в формулы (3`), (3.1), (3.2), (3.3) и (3``) вместо выражения Q`` следует подставлять известное решение Q1, тогда:

Расчёт необходимо выполнять до тех пор, пока не будет достигнуто условие V`Δt=T*, здесь T* — промежуток времени, определяющий эволюцию искомой функции Q``; Δt — величина шага по времени; V` — общее количество итераций.

3.3 Частное решение дифференциального уравнения

В предыдущем параграфе мы рассмотрели методику, направленную на решение дифференциальных уравнений, выраженных в общем виде. Разбирая частный случай данной задачи, необходимо потребовать, чтобы исследуемое дифференциальное уравнение было линейным. Если величины nx, ny, nz окажутся положительными, то справедливым будет следующее условие: Q``∈R. Кроме того, в одномерном случае переменные Q`` (0) и Q`` (Rx) должны принимать нулевые значения Q`` (0) =Q`` (Rx) =0. Таким образом, величину F (x,y,z) возможно представить в виде тождества:

здесь x∈ [0,Rx]; y∈ [0,Ry]; z∈ [0,Rz].

Преобразуем выражение (3.1), тогда:

Разложим в ряд Фурье функцию D, следовательно:

Уравнение (3.5) можно представить в виде соотношения:

Коэффициенты Фурье, которые соответствуют следующей по времени итерации, легко можно выразить через коэффициенты Фурье, полученные для предыдущей итерации.

Уравнение Шрёдингера, составленное для постоянной потенциальной энергии, является линейным. Отсюда следует, что решение рассматриваемого дифференциального уравнения возможно представить в виде тождества (3.7), поскольку в данном случае величины nx, ny, nz примут положительные значения. Более того, если подставить в качестве решения функцию

то справедливым окажется соотношение:

Получим частное решение уравнения Шрёдингера, следовательно:

Общее решение ψp является суммой частных по nx, ny, nz.

Под обозначением ψp* понимается комплексно сопряжённая волновая функция. Плотностью вероятности появления частицы в точке с координатами (x,y,z) называют соотношение ψpψp*. Исходя из тождества ограниченности вероятности ∫-∞∞∫-∞∞∫-∞∞ψpψp*dxdydz=1, возможно вычислить множитель Cp, следовательно:

где nx∈N, ny∈N, nz∈N — величины, с помощью которых можно определить дискретные значения полной энергии квантовой системы, существующей в стационарном состоянии.

Для того чтобы построить модель устойчивого химического соединения, необходимо в качестве потенциальной энергии Up (x,y,z) подставить в тождество (4!) постоянный коэффициент U0p (потенциал). Исходя из закона Кулона, составленного для энергий, возможно, например, определить условия существования неподвижных в пространстве молекулярных или кристаллических структур. Атомы химического соединения будут сохранять свою стабильность до тех пор, пока сумма энергий ΣoΣj, j≠oUoj, полученная для всех кулоновских взаимодействий, не изменит своего значения. Последнее окажется минимальным в том случае, когда в квантовой системе будет достигнуто электростатическое равновесие, тогда:

здесь roj — расстояние между частицами под номерами o и j; qj, qo — заряды частиц; K — коэффициент пропорциональности.

Волновая функция ψ — это комплекснозначная величина, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы, когда квантово-механические процессы происходят без декогеренции. Волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается плотности вероятности. Величину ψ возможно представить в виде суммы волновых функций ψp, каждая из которых будет характеризовать то или иное состояние p рассматриваемой квантовой системы.

В следующем параграфе мы получим общее аналитическое решение уравнения Шрёдингера. Опираясь на методику из 4-го раздела, можно описать большинство явлений нерелятивистской квантовой механики, в том числе дать математическое обоснование коллапсу волновой функции.

4. Об аналитическом решении уравнения Шрёдингера в С3

В этой главе будет проанализирован новый подход к решению дифференциальных уравнений, который предложил автор данной книги. В качестве примера мы разрешим уравнение Шрёдингера, полученное для 1-й частицы, находящейся в декартовой системе координат. Исследуемое дифференциальное уравнение возможно представить в виде тождества:

где a=ħ2/ (2M).

Символом Δ обозначают сумму операторов ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2+…, знак ∂t эквивалентен частной производной ∂/∂t. Уравнение Шрёдингера, полученное для одномерного случая, можно преобразовать к виду:

4.1 Пример решения уравнения Шрёдингера

Осуществляя поиск аналитического решения уравнения Шрёдингера, необходимо разложить в ряд Фурье следующие выражения: ψp, F (x) и Up (x) F (x), тогда:

где Rx — координата граничного условия Дирихле; F (x) — произвольно заданная дифференцируемая функция, F (x) ∈C.

Домножим левую и правую части тождества (4) на величину F (x), следовательно:

Заменим неизвестные переменные в формуле (4`) на соотношения A`, B`, C`, тогда:

В состав выражения (4*) входит общий множитель e2iπmxx/Rxe2iπnxx/Rx. Необходимо сократить последний, оставив в результате только коэффициенты тригонометрического ряда. Выполним следующие преобразования:

Разделим переменные относительно ψp (t, nx, mx), тогда:

Исходя из тождества ограниченности вероятности ∫-∞∞ψpψp*dx=1, возможно определить коэффициент Cp. В рассматриваемом примере существует зависимость величины Cp от времени t. Потребуем, чтобы множитель Cp оставался постоянным в том случае, когда Ep∈R. Область определения волновой функции будет лежать в пределах отрезка [0,Rx]. Вместе с тем для коэффициента Rx возможно задать любое значение Rx> 0∈R, тогда:

Исходя из стационарного одномерного уравнения Шрёдингера, можно определить полную энергию электрона Ep, находящегося в состоянии p, следовательно:

Для трёхмерного базиса величина Ep составит:

В общем случае переменная Ep окажется неопределённой, поскольку в выражении, полученном для полной энергии Ep, будут присутствовать произвольные функции: F (x) — для одномерной или F (x,y,z) — для трёхмерной системы координат.

Таким образом, опираясь на предложенную в данном параграфе методику, можно констатировать, что величина Ep, выраженная в общем виде, будет зависеть от случайных процессов, происходящих в квантовой системе. В стационарных условиях левая и правая части тождества (4!!) примут фиксированные во времени значения.

4.2 Кот Шрёдингера. Коллапс волновой функции

Если функции ψ1 и ψ2 являются волновыми, то их линейная суперпозиция ψ3 = c1ψ1 + c2ψ2 описывает некоторое состояние квантовой системы. В том случае, когда измерение определённой физической величины f в состоянии ψ1 приводит к результату f1, а в состоянии ψ2 — к результату f2, тогда измерение состояния ψ3 приведёт к результатам f1 или f2 с вероятностями |c1|2 и |c2|2 соответственно.

Поскольку стационарное уравнение Шрёдингера является линейным, то произвольно заданная комбинация его решений может быть представлена в виде суммы волновых функций.

Концепция мысленного эксперимента, связанного с котом Шрёдингера, заключается в следующей идее. В ящик помещаются банка с ядом, молоточный механизм с детектором и изначально живой кот. В случае распада ядра срабатывает детектор, который приводит в движение молоточный механизм, разбивающий сосуд с ядом, вследствие чего кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией двух состояний: распавшегося и нераспавшегося. Следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор может увидеть только какое-нибудь одно конкретное состояние: «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

В квантовой механике коллапс волновой функции происходит в том случае, когда волновая функция (первоначально в суперпозиции нескольких собственных состояний) сводится к одному собственному состоянию вследствие взаимодействия квантовой системы с внешним миром. Это взаимодействие в дальнейшем будем называть «наблюдением» или «измерением». Под нормированной суперпозицией понимается сумма нормированных волновых функций. Последние являются взаимно зависимыми. Примечательно, что объединенная волновая функция продолжает подчиняться уравнению Шрёдингера.

В 1927 году Вернер Гейзенберг использовал идею коллапса волновой функции для объяснения квантового измерения искомой нормированной вероятности. Однако ниже будет показано, что коллапс — это фундаментальное физическое явление, которое возможно обосновать, опираясь на решение уравнения Шрёдингера.

Вычисления можно производить в трёхмерной системе декартовых координат. Тем не менее для упрощения расчётов выберем одно измерение. Пусть F (x) =d (x) +ib (x), тогда:

Квадрат модуля коэффициента |Cp|2 будет определять начальную вероятность каждого отдельного состояния p нормированной суперпозиции.

Постоянный член aiπ2nx2/Rx2, который входит в состав выражения Ep, можно опустить, поскольку выше было положено условие зависимости полной энергии от произвольно заданной функции F (x).

Для того чтобы осуществить дальнейшие математические преобразования, необходимо выделить вещественную часть из выражения Ep. Пусть E*p=Re (-iEp), следовательно:

Суперпозицию квантовых состояний возможно выразить в виде суммы волновых функций при условии, что величина nx примет постоянное значение, тогда:

где S` — полное количество возможных состояний системы.

Нормированную волновую функцию можно представить в виде соотношения:

здесь S`` — число нормированных состояний.

Если потребовать тождество Ep*=0, то для любых p∈N справедливым окажется выражение:

Таким образом, сумма нормированных вероятностей будет иметь постоянное значение независимо от условий проведения эксперимента.

В точке, где появится заряженная частица, потенциальную энергию можно считать бесконечно большой. За пределами данной области значения функции Up (x) окажутся малыми по отношению к той или иной сингулярности.

Допустим, что в точке с координатой f в окрестностях ε располагается пик потенциальной энергии. Вне области f±ε потенциальная энергия Up (x) будет пропорциональна функции 1/|x-f|. Если величина ε окажется бесконечно малой ε→0, то в этом случае выражение Up (f) примет постоянное значение. Потребуем, чтобы в точках пространства, расположенных вне окрестности f±ε, выполнялось тождество G=Ep* для любых x≠f.

Итак, преобразуем соотношение (4.1) к следующему виду: