Бесплатный фрагмент - Основы школьной геометрии простыми словами

Основные причины проблем с геометрией. Как понять и исправить геометрию

Почему у многих учеников возникают проблемы с задачами по геометрии? Хочу немножко рассказать о теории — почему такое происходит, и что вы с этим можете сделать.

Обычно в школе уроки алгебры проходят почти каждый день.

Уроки геометрии — это обычно два-три раза в неделю. Что получается? Те понятия, которые изучаются на алгебре, ученики слышат каждый день. Каждый день они что-то говорят сами. Что-то говорит учитель. И эти слова хоть как-то остаются в голове.

Методы решения, которых в алгебре на самом деле не очень много, практикуют каждый день и ученики их усваивают как-то. Хотя многие ученики имеют при этом проблемы с алгеброй.

Но когда какой-то предмет рассматривается в течение 40 минут всего один или два раза в неделю (как это обстоит с геометрией), очень мало получается времени на то, чтобы ученик усвоил и понял самые основные моменты. И хотя, например, в алгебре — то, что сейчас изучается в школе — многие вещи были открыты всего четыреста лет назад. (Конечно, начала алгебры относятся к древним временам!) Но многие способы вычислений и формулы, которые сейчас практикуются, были открыты не так давно.

Теперь возьмём геометрию. «Геометрия», как в учебниках написано, это греческое слово, которое означает: «гео» — Земля, «метрос» — это мерить. То есть наука о измерении земли. Практически все данные (все теоремы и аксиомы) в учебнике геометрии были открыты и созданы, были разработаны древними греками две-три тысячи лет назад. Ничего нового с тех пор в школьной программе не появилось. Учебники геометрии практически не изменяются в течение очень многих лет. Это плюс!

Но… в чём же минус? Очень многие понятия в геометрии — они… не русские. То есть это слова такие как «катет», «гипотенуза», «тригонометрия», «медиана».

В геометрии учебники построены по принципу усложнения тем, но при решении более сложных задач часто надо очень уверенно применять знания самых простых первых правил и теорем.

Более того — обычно все сложные задачи сводятся к решению более простых, которые надо уметь заметить в сложной задаче. Поэтому без 100% уверенного понимания и умения применять данные из 7 класса не получится решить большинство задач по геометрии из старших классов и на итоговом экзамене по математике.

Помочь лучше разобраться и усвоить понятия геометрии поможет мой видео канал на Дзене, который называется «Понятное и достойное образование. Математика, физика, химия». В поиске название bestschool.

Его можно найти через любой поисковик в интернете, набрав мои имя и фамилию на русском «Игорь Казаринов». При этом вы также получите ссылки на мои сайты с различными статьями, касающимися обучения и ссылки на созданные мной группы в соцсетях — например, в Контакте. Некоторые ссылки есть в конце книги в отдельной главе.

Точка, прямая, луч. Определения, условные обозначения, хитрости

Точка

Точка в геометрии — это место в пространстве, которое не имеет никаких измерений — ни длины, ни толщины, ни ширины. Совершенно ничего, вообще никаких измерений. Само понятие точки — это условность. Потому что в природе не существует ничего, что не имеет размера, даже атом имеет какие-то размеры, хотя и очень маленькие, и мы не можем его увидеть. Вторая условность — это то, как точка изображается. Точка в геометрии изображается маленьким кружочком. Точки в геометрии принято обозначать большими латинскими буквами. Например «точка А, точка В (бэ)». Латинские буквы — это алфавит который принят в геометрии, в математике и физике, в точных науках. Как ни странно — в учебниках геометрии определение точки не дается!

Прямая

Ещё одно определение, которого нет в учебниках — это определение «прямой». Прямая рисуется тонкой линией, которая состоит из точек. Прямая — по словарю Ожегова — эта линия, подобная туго натянутой нити, которая продолжается до бесконечности в обе стороны. Можно сказать, что эта линия, которая идет до бесконечности в обе стороны и никуда на сворачивает. Эта линия состоит из точек и она тоже, как и точка, не имеет толщины. То есть это тоже условность, которая в природе не существует. Потому что никто не сможет назвать хоть что-то, что будет продолжаться в обе стороны до бесконечности и при этом никуда не будет сворачивать. То есть прямая — это условная линия, которую мы изучаем в геометрии, которая используется в геометрии, понятие, с помощью которого мы решаем какие-то задачи. Прямые обозначают двумя способами. Первый — это маленькая латинская буква, написанная рядом с линией прямой — например, «прямая a, прямая b».

Также прямую можно обозначить по двум каким-то точкам, которые на ней находятся. Например, на прямой есть точка K и точка N. Тогда эту прямую можно назвать прямой KN. Также эту прямую можно узнать прямой NK, потому что нет никакой разницы — в каком направлении мы двигаемся по прямой. Прямая в обе стороны бесконечна. (рис.2)

Если я поставлю на этой же прямой третью точку — точку M, то я смогу также эту прямую назвать по двум любым точкам из трёх — прямой NM, прямой MK, прямой MN, или даже любые другие комбинации любых двух точек, принадлежащих этой прямой. (рис.3) По трём точкам прямая никогда не называется — то есть я не могу сказать, что это прямая MNK!

Прямая всегда называется только по двум точкам. Нужно иметь ввиду, что иногда в задачах учеников пытаются немножко запутать и одну и ту же прямую обозначают по-разному — двумя парами разных букв. Внимательно смотрите на задачи! Смотрите на чертеж и обращайте внимание на то — о какой прямой говорится в задаче, то есть — если там говорится, что есть «прямая MK», потом говорится что-то про «прямую а», то имейте ввиду, что это может быть одна и та же прямая, названная по-разному!

Прямые на плоскости могут пересекаться и могут не пересекаться. Прямые, которые не пересекаются называются параллельными (от греческих слов «пара» — рядом, «аллелон» — оба. То есть обе идут рядом друг с другом).

Луч

Следующая условная фигура, о которой говорится в геометрии, называется луч. Луч также можно назвать полупрямой, и в некоторых учебниках он так и называется. Если мы поставим точку на прямой (назовём её, например, точка К) и уберём одну половину прямой, которая тянется с одной стороны от точки К до бесконечности, то оставшаяся вторая половина прямой с точкой К и будет называться «луч». То есть луч — это линия, которая идет от данной точки в одну сторону до бесконечности, не имеет толщины и никуда не сворачивает. Луч похож на прямую и он обозначается очень похоже — луч можно, как и прямую, обозначать одной маленькой латинской буквой. Это достаточно редкое обозначение, но оно встречается в учебнике; оно встречается и в задачах! Поэтому помните об этой возможности.

Также луч можно назвать по двум точкам, например: одна точка — это точка начала луча К и вторая точка — какая-нибудь точка дальше на луче, например точка М. Такой луч мы можем назвать «луч КМ».

Обратите внимание, что здесь есть отличие от прямой — порядок букв при названии луча очень важен: всегда первой называется буква для точки, которая находится в вершине луча. Название луча начинается обязательно с точки начала луча, а второй буквой в названии может быть любая другая буква, которая соответствует точке, находящейся дальше на луче.

Будьте также внимательными — один и тот же луч можно назвать двумя разными способами — одной маленькой буквой или двумя большими. И если первая буква может быть только одной — началом луча, то вторая может обозначать любую точку, лежащую дальше на луче. То есть если написано «луч h», «луч KM» и «луч KN», то это могут быть разные обозначения одного луча — это будет один и тот же луч.

В жизни существует кое-что очень похоже на луч в геометрии — это луч света или луч, который идет от солнца или от звезд. Луч света начинается на солнце и может продолжаться до бесконечности — пока не встретит какую-то преграду. Толщина солнечного луча тоже очень маленькая — можно сказать, что она никакая, потому что луч не состоит из каких-то частиц и не имеет массы.

Отрезок

Слово отрезок происходить от «резать». Отрезок — это часть прямой между двумя точками, когда по этим точкам отрезали бесконечные части прямой. Отрезок имеет точную длину. Обозначается отрезок двумя большими латинскими буквами, которые можно перечислять в любом порядке — например, АВ или ВА.

Два отрезка равны, когда равны их длины. Длина отрезков измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. Отрезки состоят из точек и не имеют направления и толщины.

Угол