Бесплатный фрагмент - Элементы математического анализа и нейросети. Практикум

Методы определения пределов функций и нейросети

Давайте сначала спросим об этом наши нейросети:

GPTutor

Методы нахождения пределов функций в математическом анализе включают различные техники и подходы, которые помогают вычислить пределы в случаях, когда прямое подстановочное значение не применимо или неудобно использовать. Вот некоторые основные методы:

Прямая подстановка: Простейший метод, который заключается в подстановке значения переменной, к которому стремится аргумент функции. Например, если нужно найти предел функции f (x) при x стремящемся к 2, и функция f (x) определена при (x = 2), то предел вычисляется как f (2).

Факторизация и рационализация: Используется для пределов, содержащих выражения, которые можно упростить факторизацией или рационализацией. Например, предел функции f (x) = sinx/x при x стремящемся к 0 можно вычислить, рационализируя это выражение.

Использование замечательных пределов: Как описано выше, замечательные пределы такие, как lim sinx/x при x стремящемся к 0, часто используются для вычисления более сложных пределов.

Использование арифметических операций с пределами: Для вычисления пределов сложных выражений часто применяются свойства пределов, такие как сумма, разность, произведение и частное пределов функций.

Применение замены переменной: Иногда полезно заменить переменную или выразить функцию в другой форме, чтобы упростить вычисление предела.

Использование определения предела: В случаях, когда другие методы не применимы, можно использовать формальное определение предела для нахождения предела функции.

Эти методы часто комбинируются в зависимости от конкретной функции и условий задачи.

Изучение пределов функций является важной частью математического анализа, так как оно позволяет понять поведение функций в окрестности определённых точек и использовать результаты для дальнейших математических и инженерных приложений.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Существует несколько методов нахождения пределов функций. Некоторые из них включают в себя:

Арифметические правила: эти правила позволяют упростить выражение и облегчить нахождение предела. Например, если пределы функций f (x) и g (x) существуют, то предел их суммы, разности, произведения и частного также существует и равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов f (x) и g (x).

Правила подстановки: данный метод заключается в замене переменной в функции на какое-либо значение, при котором функция становится определенной. Это упрощает вычисление предела.

Методы интегрального исчисления: в случае, когда нахождение предела не представляется возможным из-за сложности функции, можно воспользоваться интегральным методом. Например, использовать теорему Лопиталя для нахождения предела функции, который неопределенный.

Методы представления функций в определенной форме: иногда можно представить функцию в определенной форме (например, разложить на простейшие дроби), что упростит нахождение предела.

Это лишь некоторые из методов, которые могут использоваться для нахождения пределов функций. Конкретный метод выбирается исходя из сложности функции и удобства его применения.

Маша

Существуют несколько методов нахождения пределов функций. Вот некоторые из них:

Подстановка:

Если функция непрерывна в точке, в которой необходимо найти предел, можно просто подставить это значение в функцию.

Факторизация:

Если при подстановке получается неопределенность (например, 0/0), можно попытаться разложить функцию на множители и сократить.

Рационализация:

Если функция включает корни, можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение для устранения корня.

Правило Лопиталя:

Если при подстановке возникает неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, можно применить производные: [\lim_ {x \to a} \frac {f (x)} {g (x)} = \lim_ {x \to a} \frac {f’ (x)} {g’ (x)}] при условии, что предел справа существует.

Пределы бесконечности:

Для нахождения пределов при x, стремящемся к бесконечности, можно анализировать старшие порядки многочленов или делить числитель и знаменатель на наибольшую степень.

Сравнительный анализ:

Если известно, как себя ведут некоторые функции, можно сопоставить функцию с известной? и сделать вывод о ее пределе.

Эти методы позволяют эффективно находить пределы различных функций в математике.

В целом, нейросети ответили на данный вопрос неплохо.

Я только, в свою очередь, попробую не только определить содержание методов нахождения пределов, но и привести конкретные примеры. И самое главное: попытаюсь связать эти методы с теми примерами и заданиями, которые мы с вами и нейросети будем выполнять.

И так, к основным методам (или способам) раскрытия неопределенности и нахождения предела функции можно отнести:

I. Прямая подстановка значения предела в выражение функции

Например:

lim (x-> 2) (x^3 +2x^2 — 9) = 2^3+2*2^2 — 9 = 8 +8 — 9 = 17.

Давайте посмотрим, как с такими заданиями справляются нейросети:

1.Найти предел функции f (x) = 4x +2x^2 при x стремящемся к 1.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \ (f (x) = 4x +2x^2 \) при \ (x \) стремящемся к 1, подставим 1 в функцию:

\ [f (1) = 4 (1) +2 (1) ^2 = 4 +2 = 6\]

Таким образом, предел функции:

\ [\lim_ {x \to 1} f (x) = 6\]. Ответ: 6.

2.Найти предел функции f (x) = 4x +2x^3 +3 при x, стремящемся к — 1.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = 4x +2x^3 +3) при (x) стремящемся к (-1), мы можем использовать алгебраические методы пределов. В данном случае, функция (f (x)) не содержит разрывов в окрестности (x = -1), так что мы можем вычислить предел напрямую.

Вычислим предел:

[\lim_ {{x \to -1}} (4x +2x^3 +3)]

Подставляем (x = -1):

[f (-1) = 4 (-1) +2 (-1) ^3 +3]

[f (-1) = -4 — 2 +3]

[f (-1) = -3]

Таким образом, предел функции (f (x) = 4x +2x^3 +3) при (x) стремящемся к (-1) равен (\boxed {-3}).

Ответ: — 3.

3. Найти предел функции f (x) = 4x +2x^3 +3 при x стремящемся к 3.

Маша

Для нахождения предела функции f (x) при x стремящемся к 3 необходимо подставить значение x=3 в выражение функции:

f (3) = 43 +23^3 +3

f (3) = 12 +2*27 +3

f (3) = 12 +54 +3

f (3) = 69

Таким образом, предел функции f (x) при x стремящемся к 3, равен 69. Ответ: 69.

4.Найти предел функции f (x) = x +2x^2 +3 при x стремящемся к 2.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = x +2x^2 +3) при (x) стремящемся к 2, воспользуемся формулой предела и подставим (x = 2):

[\lim_ {{x \to 2}} (x +2x^2 +3)]

Вычислим предел поочередно для каждого слагаемого:

Предел (\lim_ {{x \to 2}} x):

[\lim_ {{x \to 2}} x = 2]

Предел (\lim_ {{x \to 2}} 2x^2):

[\lim_ {{x \to 2}} 2x^2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8]

Предел (\lim_ {{x \to 2}} 3):

[\lim_ {{x \to 2}} 3 = 3]

Теперь сложим полученные пределы:

[\lim_ {{x \to 2}} (x +2x^2 +3) = \lim_ {{x \to 2}} x + \lim_ {{x \to 2}} 2x^2 + \lim_ {{x \to 2}} 3 = 2 +8 +3 = =13]

Итак, предел функции (f (x) = x +2x^2 +3) при (x) стремящемся к 2 равен (\boxed {13}). Ответ: 13.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 2, подставим значение x = 2 вместо каждого x в функцию f (x):

f (2) = 2 +22^2 +3 = 2 +24 +3 = 2 +8 +3 = 13

Поэтому предел функции f (x) = x +2x^2 +3 при x стремящемся к 2 равен 13. Ответ: 13.

5. Найти предел функции f (x) = x — 2x^2 +10 при x, стремящемся к (-2).

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = x — 2x^2 +10) при (x) стремящемся к (-2), можно воспользоваться следующим расчетом:

lim𝑥→−2 (𝑥−2𝑥2+10)

Для начала заменим (x) на (-2) в функции (f (x)):

𝑓 (−2) = (−2) −2 (−2) 2+10

Теперь вычислим каждый элемент по очереди:

— (-2)

— (-2 (-2) ^2 = -2 \cdot 4 = -8)

— (10)

Сложим эти значения:

𝑓 (−2) =−2−8+10=0

Таким образом, предел функции (f (x)) при (x) стремящемся к (-2) равен (\boxed {0}).Ответ: 0.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x, стремящемся к (-2), подставим (-2) вместо x:

f (-2) = (-2) — 2 (-2) ^2 +10

f (-2) = -2 — 2*4 +10

f (-2) = -2 — 8 +10

f (-2) = 0

Таким образом, предел функции f (x) при x, стремящемся к (-2), равен 0.Ответ: 0.

II. Деление числителя и знаменателя функции на неизвестное в старшей степени

Например:

lim (x-> к бесконечности) (3 — x^4) / (2x^3 — 5x^4 +8) = lim (x-> к бесконечности) (3/x^4 — 1) / (2/x — 5 +8/x^4) =

= lim (x-> к бесконечности) (3/x^4 — 1) / lim (x-> к бесконечности) (2/x — 5 +8/x^4) = (0 — 1) / (0 — 5 +0) = — 1/5.

Давайте посмотрим, как с такими заданиями справляются нейросети:

1. Найти предел функции f (x) = (x^2 +1) / (x^2 — 1) при x стремящегося к бесконечности.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {x^2 +1} {x^2 — 1}) при (x) стремящемся к бесконечности, можно выполнить следующие шаги:

Разделим числитель и знаменатель на (x^2): [f (x) = \frac {x^2 +1} {x^2 — 1} = \frac {1 + \frac {1} {x^2}} {1 — \frac {1} {x^2}}]

При (x \to \infty), члены (\frac {1} {x^2}) стремятся к 0: [f (x) \to \frac {1 +0} {1 — 0} = \frac {1} {1} = 1]

Таким образом, предел функции (f (x)) при (x) стремящемся к бесконечности равен:

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = 1]. Ответ: 1.

Традиционное решение

lim (x→к бесконечности) f (x) = lim (x→к бесконечности) (x^2 +1) / (x^2 — 1) =

= lim (x→к бесконечности) (x^2/x^2 +1/x^2) / (x^2/x^2 — 1/x^2) I числитель и знаменатель функции делим на x^2 I= (1 +0) / (1 — 0) = 1/1 = 1. Ответ: 1.

2. Найти предел функции f (x) = (2x^3 + x^2 — 5) / (x^3 + x — 1) при x стремящемся к бесконечности.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {2x^3 + x^2 — 5} {x^3 + x — 1}) при (x \to \infty), мы будем анализировать поведение выражений в числителе и знаменателе.

Разделим каждый член числителя и знаменателя на (x^3), так как это наибольшая степень (x):

[f (x) = \frac {2x^3 + x^2 — 5} {x^3 + x — 1}]

Поделим каждый член на (x^3):

[f (x) = \frac {2 + \frac {x^2} {x^3} — \frac {5} {x^3}} {1 + \frac {x} {x^3} — \frac {1} {x^3}}]

Упростим выражения в скобках, замечая, что (\frac {x^2} {x^3} = \frac {1} {x}), (\frac {5} {x^3}) и так далее:

[f (x) \approx \frac {2 + \frac {1} {x} — \frac {5} {x^3}} {1 + \frac {1} {x^2} — \frac {1} {x^3}}]

Теперь рассмотрим предел при (x \to \infty):

В числителе (2 + \frac {1} {x} — \frac {5} {x^3} \to 2) (так как (\frac {1} {x}) и (\frac {5} {x^3}) стремятся к нулю).

В знаменателе (1 + \frac {1} {x} — \frac {1} {x^3} \to 1) (аналогично, (\frac {1} {x}) и (\frac {1} {x^3}) стремятся к нулю).

Таким образом, предел функции (f (x)) при (x \to \infty) равен:

[\lim_ {{x \to \infty}} f (x) = \frac {2} {1} = 2.]

Итак, (\lim_ {{x \to \infty}} \frac {2x^3 + x^2 — 5} {x^3 + x — 1} = 2).

Ответ: 2.

Маша

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {2x^3 + x^2 — 5} {x^3 + x — 1}) при (x \to \infty), нужно изучить поведение числителя и знаменателя.

Определим доминирующие термины в числителе и знаменателе:

Числитель: (2x^3 + x^2 — 5) → доминирующий член: (2x^3)

Знаменатель: (x^3 + x — 1) → доминирующий член: (x^3)

Предел можно переписать, выделив доминирующие члены: [\lim_ {x \to \infty} f (x) = \lim_ {x \to \infty} \frac {2x^3} {x^3} = \lim_ {x \to \infty} 2 = 2]

Следовательно, предел функции (f (x)) при (x \to \infty) равен (2).

Ответ: 2.

3. Найти предел функции f (x) = (x^2 — 1) / (4 x^2 +3) при x, стремящемся к бесконечности.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x, стремящемся к бесконечности, нужно разделить все члены выражения на x^2, так как степень x в числителе и знаменателе одинакова. Получим:

f (x) = (x^2 — 1) / (4x^2 +3) = (1 — 1/x^2) / (4 +3/x^2).

Теперь вычислим предел данной функции:

lim (x-> ∞) (1 — 1/x^2) / (4 +3/x^2) = (lim (x-> ∞) 1 — lim (x-> ∞) 1/x^2) / (lim (x-> ∞) 4 + lim (x-> ∞) 3/x^2) = (1 — 0) / (4 +0) = 1/4.

Итак, предел функции f (x) при x, стремящемся к бесконечности, равен 1/4.Ответ: 1/4.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {x^2 — 1} {4x^2 +3}) при (x \to \infty), мы будем рассматривать старшие степени в числителе и знаменателе.

Сначала выражаем функцию более удобным способом:

[f (x) = \frac {x^2 — 1} {4x^2 +3} = \frac {1 — \frac {1} {x^2}} {4 + \frac {3} {x^2}}]

При (x \to \infty), (\frac {1} {x^2} \to 0). Поэтому можно упростить выражение:

[f (x) \approx \frac {1 — 0} {4 +0} = \frac {1} {4}]

Таким образом, предел функции (f (x)) при (x \to \infty) равен:

[\lim_ {x \to \infty} \frac {x^2 — 1} {4x^2 +3} = \frac {1} {4}]

Таким образом, ответ: (\frac {1} {4}).Ответ: 1/4.

Обе нейросети отлично справились с этим заданием: методы и результаты решений совпадают и являются верными. Необходимости использования третьей нейросети — нет.

III. Приведение числителя и знаменателя функции к общему знаменателю. Разложение на множители числителя и знаменателя и сокращение подобных элементов функции Методом замены переменной

Например:

lim f (x) (x-> 1) = lim (x-> 1) [(x +2) / (x — 1) (x — 4) + (x — 4) /3 (x — 1) (x — 2)] = lim (x-> 1) {[3 (x +2) (x — 2) + (x — 4) *2] / [3 (x — 1) (x — 2) (x — 4)]} = lim (x-> 1) [(4x^2 — 8x +4) /3 (x — 1) (x — 2) (x — 4)]

Дальнейшее определение предела для данной функции может быть раскрыто:

1) Разложением на множители:

lim f (x) (x-> 1) = lim (x-> 1) [(4x^2 — 8x +4) /3 (x — 1) (x — 2) (x — 4)] = lim (x-> 1) [(4 (x — 1) ^2) / 3 (x — 1) (x — 2) (x — 4)] =

= lim (x-> 1) [4 (x — 1) / 3 (x — 1) (x — 2)] = 4*0/3* (-1) * (- 3) = 0.

2) Методом замены переменной:

Введем новую переменную: y = x — 1. Тогда новая переменная у будет стремиться не к 1, а к 0.

lim f (x) (x-> 1) = lim (y-> 0) {[4 (y+1) ^2 — 8 (y+1) +4] /3 (y+1—1) (y+1—2) (y+1—4)} = lim (y-> 0) [(4y^2+8y+4 — 8y — 8+

+4) /3y (y — 1) (y — 3)] = lim (y-> 0) [4y^2/3y (y — 1) (y — 3)] = lim (y-> 0) [4y/3 (y — 1) (y — 3)] = 4*0/3* (-1) * (- 3) = 0.

Ответ: 0.

1.Найти предел функции f (x) = (x^2 — 3x +2) / (2x^2 — 5x +2) при x стремящемся к 2.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \ [f (x) = \frac {x^2 — 3x +2} {2x^2 — 5x +2} \]

при \ (x \) стремящемся к 2, сначала подставим 2 в функцию:

\ [f (2) = \frac {2^2 — 3 (2) +2} {2 (2^2) — 5 (2) +2} = \frac {4 — 6 +2} {8 — 10 +2} = \frac {0} {0} \]

При подстановке получаем неопределенность \ (\frac {0} {0} \). Необходимо упростить выражение.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

1. Числитель: \ (x^2 — 3x +2 = (x — 1) (x — 2) \).

2. Знаменатель: \ (2x^2 — 5x +2 = (2x — 1) (x — 2) \).

Теперь подставим в предел:

\ [f (x) = \frac {(x — 1) (x — 2)} {(2x — 1) (x — 2)} \]

Сократим \ ((x — 2) \):\ [f (x) = \frac {x — 1} {2x — 1} \]

Теперь найдем предел, подставив \ (x = 2 \):

\ [\lim_ {x \to 2} f (x) = \frac {2 — 1} {2 (2) — 1} = \frac {1} {4 — 1} = \frac {1} {3} \]

Таким образом, предел функции равен:

\ [\lim_ {x \to 2} f (x) = \frac {1} {3} \]. Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x→2) f (x) = lim (x→2) (x^2 — 3x+2) / (2x^2 — 5x +2) = lim (x→2) ((x — 1) (x — 2) / (2x — 1) (x — 2)) =

= I числитель и знаменатель функции сокращаем на (x -2) I= (x — 1) / (2x — 1) = 1/3. Ответ: 1/3.

2. Найти предел функции f (x) = (x^2 — 3x +2) / (x^2 +2x — 3) при x стремящемся к 1.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {x^2 — 3x +2} {x^2 +2x — 3}) при (x) стремящемся к (1), мы можем подставить (x = 1) напрямую в выражение функции:

[f (1) = \frac {1^2 — 3 \cdot 1 +2} {1^2 +2 \cdot 1 — 3}]

[f (1) = \frac {1 — 3 +2} {1 +2 — 3}]

[f (1) = \frac {0} {0}]

Заметим, что получили неопределённость вида (\frac {0} {0}). Для решения этой неопределённости, мы можем применить метод деления числителя и знаменателя на ((x — 1)), так как (x — 1) является фактором и числителя, и знаменателя:

[f (x) = \frac {x^2 — 3x +2} {x^2 +2x — 3}]

Делим числитель и знаменатель на ((x — 1)):

[f (x) = \frac {(x — 1) (x — 2)} {(x — 1) (x +3)}]

При (x \neq 1), (x — 1) можно сократить:

[f (x) = \frac {x — 2} {x +3}]

Теперь вычисляем предел (f (x)) при (x \to 1):

[\lim_ {{x \to 1}} \frac {x — 2} {x +3} = \frac {1 — 2} {1 +3} = \frac {-1} {4}]

Итак, предел функции (f (x) = \frac {x^2 — 3x +2} {x^2 +2x — 3}) при (x) стремящемся к (1) равен (\boxed {-\frac {1} {4}}). Ответ: 1/4.

Другой вариант решения (с помошью ChatGPT):

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 1, подставим значение x = 1 в функцию:

f (1) = (1^2 — 31 +2) / (1^2 +21 — 3) = (1 — 3 +2) / (1 +2 — 3) = 0/0

Получили неопределенность вида 0/0. Для определения предела в этом случае, проведем кратное деление многочленов:

(x^2 — 3x +2) / (x^2 +2x — 3) = (x-1) (x-2) / (x+3) (x-1) = (x-2) / (x+3)

Теперь можно подставить x=1:

f (x) = (1—2) / (1+3) = -1 / 4

Ответ: Предел функции f (x) при x стремящемся к 1 равен 1/4.

3.Найти предел функции f (x) = (x — 2) / (x^2 — 4) при x стремящемся к 2.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {x — 2} {x^2 — 4}) при (x) стремящемся к 2, начнем с замены

(x = 2):

[\lim_ {{x \to 2}} \frac {x — 2} {x^2 — 4}]

Проверим, что знаменатель не равен нулю при (x = 2):

[x^2 — 4 = 2^2 — 4 = 4 — 4 = 0]

Знаменатель равен нулю, поэтому необходимо преобразовать функцию перед вычислением предела. Мы можем разложить знаменатель на множители:

[x^2 — 4 = (x — 2) (x +2)]

Теперь можно переписать функцию:

[f (x) = \frac {x — 2} {(x — 2) (x +2)}]

При (x \neq 2), можно сократить (x — 2):

[f (x) = \frac {1} {x +2}]

Теперь можем найти предел:

[\lim_ {{x \to 2}} \frac {1} {x +2} = \frac {1} {2 +2} = \frac {1} {4}]

Итак, предел функции (f (x) = \frac {x — 2} {x^2 — 4}) при (x) стремящемся к 2 равен (\boxed {\frac {1} {4}}). Ответ: 1/4.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 2, можно воспользоваться методом дробно-рациональных выражений.

Сначала разложим функцию на простейшие дроби:

f (x) = (x — 2) / (x^2 — 4) = (x — 2) / ((x +2) (x — 2)) = 1/ (x +2)

Теперь найдем предел этой функции при x стремящемся к 2:

lim (x-> 2) (1/ (x +2)) = 1/ (2 +2) = ¼

Итак, предел функции f (x) = (x — 2) / (x^2 — 4) при x стремящемся к 2 равен 1/4. Ответ: 1/4.

4. Найти предел функции f (x) = (x^ (1/2) — 3^ (1/2/)) / (x^2 — 9) при x, стремящемся к 3.

Правильный ответ: 1/ (12*3^ (1/2))

Ошиблась нейросеть ChatGPT Online — AI Chat GPT.

«Для решения данной задачи можно воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого возьмем производные числителя и знаменателя и вычислим предел их отношения при x, стремящемся к 3:

f (x) = (x^ (1/2) — 3^ (1/2)) / (x^2 — 9)

f’ (x) = (1/2) x^ (-1/2) / (2x)

f’ (x) = 1 / (2x^ (3/2))

g (x) = x^2 — 9

g’ (x) = 2x

Подставляем x = 3 в производные:

f’ (3) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * √3) = √3 / 18

g’ (3) = 2 * 3 = 6

Теперь найдем предел отношения производных при x, стремящемся к 3:

lim (x-> 3) f’ (x) / g’ (x) = lim (x-> 3) (√3 / 18) / 6 = (√3 / 18) / 6 = √3 / 18 / 6 = √3 / 108

Таким образом, предел функции f (x) при x, стремящемся к 3, равен √3 / 108».

Ошибка произошла при нахождении производной функции f (x). Вообще, стремление нейросетей искать сложные и не всегда оправданные варианты решений (как в этом случае, я не одобряю).

Предлагаю для закрепления данного учебного материала рассмотреть решение данного примера традиционными методами:

Давайте найдем предел данной функции f (x) = (x^ (1/2) — 3^ (1/2/)) / (x^2 — 9) при x, стремящемся к 3, используя метод разложения на множители числителя и знаменателя, сокращением подобных и вычислением значения предела.

1вариант

lim f (x) (x -> 3) = lim (x^ (1/2) — 3^ (1/2/)) / (x^2 — 9) = lim [(x^ (1/2) — 3^ (1/2/) / (х — 3) (x +3)] =

= lim [(x^ (1/2) — 3^ (1/2/) / (x^ (1/2) — 3^ (1/2/) (x^ (1/2) +3^ (1/2/) (x +3)] = lim [1/ ((x^ (1/2) +3^ (1/2/) (x +3))] =

= lim {Подставим в выражение функции x =3} = (1/ (3 (1/2) +3^ (1/2/)) (3 +3) = 1/2*3^ (1/2) *6 = 1/ (12*3^ (1/2)).

Ответ: 1/ (12*3^ (1/2)).

2вариант

Для того, чтобы решить вопрос о пределе этой функции, перенесем иррациональность в знаменатель, умножив числитель и знаменатель дроби на сумму x^1/2 +3^1/2:

lim f (x) (x -> 3) = lim (x^ (1/2) — 3^ (1/2/)) / (x^2 — 9) = lim (x^ (1/2) — 3^ (1/2/)) (x^ (1/2) +3^ (1/2/)) / (x^2 — 9) *

* (x^ (1/2) +3^ (1/2/) = lim (x — 3) / (х — 3) (x +3) (x^ (1/2) +3^ (1/2)) {Так, как x =/ 3, а x — 3 /= 0, то можем

сократить числитель и знаменатель на x — 3. И тогда

lim f (x) (x -> 3) = lim) (x -> 3) (x^ (1/2) — 3^ (1/2/)) / (x^2 — 9) = lim (x -> 3) 1/ (x +3) (x^ (1/2) +3^ (1/2/)) =

= 1/ (3 +3) (3^1/2 +3^1/2) = 1/12*3^1/2.

Ответ: 1/ (12*3^ (1/2)).

iV, Преобразование радикалов, входящих в состав функции

Например:

lim (x-> к бесконечности) [(x^2 +1) ^ (1/2) — x)] =

Умножим и разделим выражение функции на сумму (x^2 +1) ^ (1/2) + x:

= lim (x-> к бесконечности) {[(x^2 +1) ^ (1/2) — x)] * [(x^2 +1) ^ (1/2) + x] / [(x^2 +1) ^ (1/2) + x]} =

= lim (x-> к бесконечности) {(x^2 +1 — x^2) / [(x^2 +1) ^ (1/2) + x]} = lim (x-> к бесконечности) {1/ [(x^2 +

+1) ^ (1/2) + x]} = 0.

1.Найти предел функции f (x) = ((1+x) ^ (1/2) — (1- x) ^ (1/2)) /3x при x стремящемся к 0.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \ [f (x) = \frac {\sqrt {1+x} — \sqrt {1-x}} {3x} \]

при \ (x \) стремящемся к 0, подставим 0 в функцию:

\ [f (0) = \frac {\sqrt {1+0} — \sqrt {1—0}} {3 \cdot 0} = \frac {1 — 1} {0} = \frac {0} {0} \]

При подстановке получаем неопределенность \ (\frac {0} {0} \). Чтобы решить это, применим метод умножения на сопряженное выражение:

Умножим числитель и знаменатель на \ (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x} \):

\ [f (x) = \frac {(\sqrt {1+x} — \sqrt {1-x}) (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} {3x (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} \]

В числителе получаем:

\ [(\sqrt {1+x}) ^2 — (\sqrt {1-x}) ^2 = (1+x) — (1-x) = 2x\]

Таким образом, выражение становится:

\ [f (x) = \frac {2x} {3x (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} = \frac {2} {3 (\sqrt {1+x} + \sqrt {1-x})} \]

Теперь можем найти предел:

\ [\lim_ {x \to 0} f (x) = \frac {2} {3 (\sqrt {1+0} + \sqrt {1—0})} = \frac {2} {3 (1 +1)} = \frac {2} {6} = \frac {1} {3} \]

Таким образом, предел функции равен:

\ [\lim_ {x \to 0} f (x) = \frac {1} {3} \] /. Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x→0) f (x) = lim (x→0) ((1+x) ^ (1/2) — (1- x) ^ (1/2)) /3x) = lim (x→0) (1 + x — 1 + x) /3x ((1+x) ^ (1/2) + (1- x) ^ (1/2)) = I числитель и знаменатель функции умножаем на (1+x) ^ (1/2) + (1- x) ^ (1/2) I = 2/ (3 (1+1)) = 1/3. Ответ: 1/3.

2. Найти предел функции f (x) = (x^ (1/2) — 3^ (1/2/)) / (x^2 — 9) при x, стремящемся к 3.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {\sqrt {x} — \sqrt {3}} {x^2 — 9}) при (x) стремящемся к (3), проделаем следующие шаги:

Сначала заменим (x) на (3) в функции (f (x)):

𝑓 (3) =3−332−9

Вычислим знаменатель:

32−9=9−9=0

Теперь числитель:

3−3=0

Таким образом, получаем неопределённость (\frac {0} {0}). Для разрешения этой неопределённости можно применить правило Лопиталя или другие методы. В данном случае, выглядит логичным использовать разложение в ряд Тейлора для функции (\sqrt {x}) около (x = 3):

𝑥≈3+𝑥−323

Тогда:

𝑥−3≈𝑥−323

Теперь заменим в исходной функции:

𝑓 (𝑥) ≈𝑥−323𝑥2−9=𝑥−323 (𝑥2−9)

Теперь вычислим предел при (x \to 3):

lim𝑥→3𝑥−323 (𝑥2−9) =lim𝑥→3123⋅2𝑥=1123

Таким образом, предел функции (f (x) = \frac {\sqrt {x} — \sqrt {3}} {x^2 — 9}) при (x) стремящемся к (3) равен (\boxed {\frac {1} {12\sqrt {3}}}).

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела функции f (x) при x, стремящемся к 3, подставим значение x =

= 3 в выражение:

f (3) = (3^ (1/2) — 3^ (1/2)) / (3^2 — 9) = (3^ (1/2) — 3^ (1/2)) / 0

Заметим, что числитель у нас равен 0, а знаменатель равен 0. Это означает, что данное выражение неопределенно, и мы не можем найти предел функции f (x) при x, стремящемся к 3, используя обычные правила.

Для решения данной задачи можно воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого возьмем производные числителя и знаменателя и вычислим предел их отношения при x, стремящемся к 3:

f (x) = (x^ (1/2) — 3^ (1/2)) / (x^2 — 9)

f’ (x) = (1/2) x^ (-1/2) / (2x)

f’ (x) = 1 / (2x^ (3/2))

g (x) = x^2 — 9

g’ (x) = 2x

Подставляем x = 3 в производные:

f’ (3) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * √3) = √3 / 18

g’ (3) = 2 * 3 = 6

Теперь найдем предел отношения производных при x, стремящемся к 3:

lim (x-> 3) f’ (x) / g’ (x) = lim (x-> 3) (√3 / 18) / 6 = (√3 / 18) / 6 = √3 / 18 / 6 = √3 / 108

Таким образом, предел функции f (x) при x, стремящемся к 3, равен √3 / 108. Ответ: √3 / 108.

ChatGPT- 4о — mini

Для нахождения предела функции (f (x) = \frac {\sqrt {x} — \sqrt {3}} {x^2 — 9}) при (x) стремящемся к 3, подставим (x = 3):

[f (3) = \frac {\sqrt {3} — \sqrt {3}} {3^2 — 9} = \frac {0} {0}]

Это неопределенность вида (\frac {0} {0}). Чтобы устранить ее, можно воспользоваться правилом Лопиталя или преобразованием. В данном случае попробуем преобразовать числитель.

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

[x^2 — 9 = (x — 3) (x +3)]

Теперь мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

[f (x) = \frac {(\sqrt {x} — \sqrt {3}) (\sqrt {x} + \sqrt {3})} {(x — 3) (x +3) (\sqrt {x} + \sqrt {3})} = \frac {x — 3} {(x — 3) (x +3) (\sqrt {x} + \sqrt {3})}]

Сократим (x — 3):

[f (x) = \frac {1} {(x +3) (\sqrt {x} + \sqrt {3})}]

Теперь подставим (x = 3):

[f (3) = \frac {1} {(3 +3) (\sqrt {3} + \sqrt {3})} = \frac {1} {6 \cdot 2\sqrt {3}} = \frac {1} {12\sqrt {3}}]

Таким образом, предел функции при (x) стремящемся к 3 равен:

[\lim_ {x \to 3} f (x) = \frac {1} {12\sqrt {3}}]. √3 / 108.

Домашнее задание:

При анализе решений примера №2 определить имена нейросетей, которые ошиблись в нахождении пределов, и дать краткую характеристику допущенных ими ошибок.

V. Использование свойств замечательных пределов и формул логарифмических преобразований

Например:

lim (x-> к бесконечности) f (x) = lim (x-> к бесконечности) x* (ln (x + a) — lnx) =

Найдем этот предел, перейдя от разности логарифмов к их частному.

= lim (x-> к бесконечности) [x*ln (1 + a/x)] =

Заменив переменную x на у = a/x, получаем возможность воспользоваться третьим замечательным пределом (смотрите раздел «Справочные материалы» в данной книге):

= lim (y-> 0) [a/y*ln (1 + y)] = a* lim (y-> 0) [ln (1 + y) /y] = a*1 = a.

1. Найти предел функции f (X) = tgx/x при x стремящемся к 0.

Нейросеть ChatGPT не сразу поняла формулировку данного задания:

«Для нахождения предела функции необходимо задать конкретное функциональное выражение. Пожалуйста, уточните функцию, для которой требуется найти предел.»

Уточнение к заданию 5:

F (X) = tgx/x при x стремящемся к 0.

ChatGPT:

Поскольку tg (0) = 0, а lim (x-> 0) tg (x) /x = 1, то lim (x-> 0) f (x) = 1.

Задание выполнено верно, но краткость — не всегда сестра таланта.

Поясняю, выполняя это задание обычным способом:

lim (x-> 0) tg (x) /x = lim (x-> 0) (sinx/x * 1/cosx) = lim (x-> 0) sinx/x * lim (x-> 0) 1/cosx = 1*1 = 1

Как видно из решения, в его основе лежит первый замечательный предел lim (x-> 0) sinx/x = 1.

Например (здесь п = 180 градусов, число пи):

lim f (x) (x-> 2) = lim (x-> 2) [(2 — x) tg (пx/4)] =

Для нахождения предела следует воспользоваться первым замечательным пределом (смотрите раздел «Справочные материалы» в данной книге):

Положим в нашем примере y = 2 — x. Тогда новая переменная y будет стремиться к 0:( y -> 0). И в таком случае:

= lim f (y) (y-> 0) = lim (y-> 0) [(y*tg (п/4 (2 — y))] = lim (y-> 0) [(y*tg (п/2 — (п/4) y)] = lim (y-> 0) [(y*ctg ((п/4) y)] =

= lim (y-> 0) [y/sin ((п/4) y)] *cos ((п/4) y) = lim (y-> 0) [y/sin ((п/4) y)] * lim (y-> 0) [cos ((п/4) y)] =

= lim (y-> 0) [y/sin ((п/4) y)] = 1/ (п/4) = 4/п.

VI. Комбинация нескольких предыдущих способов. Сложные случаи

1. Найти предел функции f (x) = (7^x — 3^x) /x при x -> 0.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела функции f (x) = (7^x — 3^x) /x при x -> 0 воспользуемся правилом Лопиталя:

lim (x -> 0) [(7^x — 3^x) /x] = lim (x -> 0) [(ln (7) *7^x — ln (3) *3^x) / (1)]

= ln (7) *lim (x -> 0) [7^x] — ln (3) *lim (x -> 0) [3^x]

Так как x -> 0, то lim (x -> 0) [7^x] = 7^0 = 1 и lim (x -> 0) [3^x] = 3^0 = 1. Подставляем:

ln (7) *1 — ln (3) *1 = ln (7) — ln (3)

Таким образом, предел функции f (x) = (7^x — 3^x) /x при x -> 0 равен разности натуральных логарифмов чисел 7 и 3:

lim (x -> 0) [(7^x — 3^x) /x] = ln (7) — ln (3) ≈ 0.8476.

ChatGPT- 4о — mini (Маша)

Для нахождения предела функции \ (f (x) = \frac {7^x — 3^x} {x} \) при \ (x \to 0 \) можно использовать правило Лопиталя, так как при подстановке \ (x = 0 \) получаем неопределенность вида \ (\frac {0} {0} \).

Применяем правило Лопиталя:

\ [\lim_ {x \to 0} \frac {7^x — 3^x} {x} = \lim_ {x \to 0} \frac {(7^x \ln (7) — 3^x \ln (3))} {1} \]

Теперь подставим \ (x = 0 \):

\ [= 7^0 \ln (7) — 3^0 \ln (3) = \ln (7) — \ln (3) = \ln\left (\frac {7} {3} \right) \]

Таким образом, предел функции при \ (x \to 0 \) равен:

\ [\lim_ {x \to 0} f (x) = \ln\left (\frac {7} {3} \right) \]

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {7^x — 3^x} {x}) при (x \to 0), мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, так как исходная функция принимает неопределённую форму (\frac {0} {0}) при (x \to 0).

Сначала найдём производные числителя и знаменателя:

Числитель: (7^x — 3^x).

Производная числителя по правилу дифференцирования степенной функции:

[\frac {d} {dx} (7^x — 3^x) = 7^x \ln 7 — 3^x \ln 3]

Знаменатель: (x).

Производная знаменателя:

[\frac {d} {dx} (x) = 1]

Теперь применяем правило Лопиталя, которое гласит, что если (\lim_ {x \to a} \frac {f (x)} {g (x)} = \frac {0} {0}) или (\frac {\infty} {\infty}), то (\lim_ {x \to a} \frac {f (x)} {g (x)} = \lim_ {x \to a} \frac {f’ (x)} {g’ (x)}), если последний предел существует:

[\lim_ {x \to 0} \frac {7^x — 3^x} {x} = \lim_ {x \to 0} \frac {7^x \ln 7 — 3^x \ln 3} {1}]

Теперь подставляем (x = 0) в производные числителя и знаменателя:

[\lim_ {x \to 0} \frac {7^x \ln 7 — 3^x \ln 3} {1} = 7^0 \ln 7 — 3^0 \ln 3 = \ln 7 — \ln 3]

Таким образом, предел функции (f (x) = \frac {7^x — 3^x} {x}) при (x \to 0) равен (\ln 7 — \ln 3).

Итак, (\boxed {\ln \left (\frac {7} {3} \right)}).

2. Найти предел функции f (x) = (cos ax — cos bx) /x^2 при x -> 0.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x -> 0, сначала найдем производную этой функции:

f’ (x) = (asin (ax) — bsin (bx)) /x^2 — 2* (cos (ax) — cos (bx)) /x^3

Заметим, что числитель первого слагаемого верно раскладывается на множители:

asin (ax) — bsin (bx) = a* (sin (ax) — axcos (ax) /x) — b (sin (bx) — bxcos (bx) /x) = a (1 — acos (ax)) — b (1 — bcos (bx)) = -a^2cos (ax) + b^2*cos (bx)

А числитель второго слагаемого равен cos (ax) — cos (bx)

Теперь подставим найденные значения в производную:

f’ (x) = (-a^2cos (ax) + b^2cos (bx)) /x^2 — 2* (cos (ax) — cos (bx)) /x^3 = (-a^2cos (ax) + b^2cos (bx) — 2cos (ax) +2cos (bx)) /x^3 = (b^2 — a^2) cos (bx) /x^2 +2 (cos (bx) — cos (ax)) /x^3

Таким образом, производная функции f (x) равна (b^2 — a^2) cos (bx) /x^2 +2 (cos (bx) — cos (ax)) /x^3.

Теперь найдем предел этой производной при x -> 0:

lim (x-> 0) f’ (x) = lim (x-> 0) [(b^2 — a^2) cos (bx) /x^2 +2 (cos (bx) — cos (ax)) /x^3]

В данном пределе оба слагаемых стремятся к 0, поскольку как x стремится к 0, аргумент косинуса также стремится к 0, что делает косинус значение 1, а косинус от 1 равен 0. Таким образом, предел равен 0.

Итак, предел функции f (x) = (cos (ax) — cos (bx)) /x^2 при x -> 0 равен 0.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {\cos (ax) — \cos (bx)} {x^2}) при (x \to 0), мы можем воспользоваться известным пределом:

[\lim_ {{x \to 0}} \frac {\cos (ax) — \cos (bx)} {x^2} = -\frac {1} {2} \left (a^2 + b^2 \right)]

Этот результат получается из формулы для предела (\frac {\sin (kx)} {x} = k) при (x \to 0) и дифференцирования косинуса.

ChatGPT- 4о — mini (Маша)

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {\cos (ax) — \cos (bx)} {x^2}) при (x \to 0), можно использовать правило Лопиталя, потому что непосредственная подстановка приводит к неопределенности вида (\frac {0} {0}).

Применяем правило Лопиталя:

Находим производные числителя и знаменателя:

Производная числителя: [\frac {d} {dx} (\cos (ax) — \cos (bx)) = -a \sin (ax) + b \sin (bx)]

Производная знаменателя: [\frac {d} {dx} (x^2) = 2x]

Применяем правило Лопиталя: [\lim_ {x \to 0} f (x) = \lim_ {x \to 0} \frac {-a \sin (ax) + b \sin (bx)} {2x}]

Снова подставляем (x = 0):

Обе функции в числителе и знаменателе также приводят к неопределенности (\frac {0} {0}), поэтому снова применяем правило Лопиталя:

Производная числителя: [\frac {d} {dx} (-a \sin (ax) + b \sin (bx)) = -a^2 \cos (ax) + b^2 \cos (bx)]

Производная знаменателя: [\frac {d} {dx} (2x) = 2]

Применяем правило Лопиталя во второй раз: [\lim_ {x \to 0} f (x) = \lim_ {x \to 0} \frac {-a^2 \cos (ax) + b^2 \cos (bx)} {2}] Теперь подставляем (x = 0): [= \frac {-a^2 \cos (0) + b^2 \cos (0)} {2} = \frac {-a^2 + b^2} {2}]

Таким образом, предел функции равен:

[\lim_ {x \to 0} f (x) = \frac {b^2 — a^2} {2}]

Правильно выполнила это задание только МАША.

Предлагаю, как и в предыдущем случае, для закрепления данного учебного материала рассмотреть решение данного примера традиционными методами:

При x -> 0 числитель и знаменатель дроби — бесконечно малые. Чтобы использовать замечательный предел

(a +b) x/2sinx/x необходимо разность синусов заменить по формуле:

cos ax — cos bx = — 2 (sin (a +b) x/2) * (sin (a — b) x/2).

Тогда lim (x -> 0) (cos ax — cos bx) /x^2 = — 2 lim (x -> 0) (sin (a + b) x/2* sin (a — b) x/2) /x^2 =

=- 2 lim (x -> 0) (sin (a + b) x/2/x* lim (x -> 0) sin (a — b) x/2) /x = — 2 (a + b) /2* (a — b) /2 = — (a^2 — b^2) /2 =

= (b^2 — a^2) /2

Ответ: (b^2 — a^2) /2

3. Найти предел функции f (x) = (x^2 +1) ^1/2 — (x^2 — 1) ^1/2/ при x -> к бесконечности.

МАША

Найти предел функции f (x) = (x^2 +1) ^1/2 — (x^2 — 1) ^1/2/ при x -> к бесконечности.

Чтобы найти предел функции

[f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1} \quad \text {при} \quad x \to \infty,]

можно умножить дробь на сопряженное выражение для удобства:

[f (x) = \left (\sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1} \right) \cdot \frac {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}.]

Тогда мы получаем:

[f (x) = \frac {(x^2 +1) — (x^2 — 1)} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}} = \frac {2} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}.]

Теперь вычислим предел:

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = \lim_ {x \to \infty} \frac {2} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}.]

При (x \to \infty), выносим (x) за скобки под корнями:

[\sqrt {x^2 +1} = x \sqrt {1 + \frac {1} {x^2}} \quad \text {и} \quad \sqrt {x^2 — 1} = x \sqrt {1 — \frac {1} {x^2}}.]

Тогда:

[\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1} = x \left (\sqrt {1 + \frac {1} {x^2}} + \sqrt {1 — \frac {1} {x^2}} \right).]

Подставляем это выражение в предел:

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = \lim_ {x \to \infty} \frac {2} {x \left (\sqrt {1 + \frac {1} {x^2}} + \sqrt {1 — \frac {1} {x^2}} \right)}.]

Когда (x \to \infty), (\sqrt {1 + \frac {1} {x^2}} \to 1) и (\sqrt {1 — \frac {1} {x^2}} \to 1), поэтому:

[\sqrt {1 + \frac {1} {x^2}} + \sqrt {1 — \frac {1} {x^2}} \to 2.]

Таким образом, предел становится:

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = \lim_ {x \to \infty} \frac {2} {x \cdot 2} = \lim_ {x \to \infty} \frac {1} {x} = 0.]

Итак, предел функции равен:

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = 0.]

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Чтобы найти предел функции (f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1}) при (x \to \infty), мы можем использовать метод рационализации и асимптотический анализ.

Рационализация функции:

Умножим и разделим каждый член (f (x)) на выражение (\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}):

[f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1} \cdot \frac {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}]

Это приводит нас к выражению:

[f (x) = \frac {(\sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1}) (\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1})} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}]

В числителе получаем:

[(\sqrt {x^2 +1}) ^2 — (\sqrt {x^2 — 1}) ^2 = (x^2 +1) — (x^2 — 1) = 2]

Поэтому:

[f (x) = \frac {2} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}]

Нахождение предела при (x \to \infty):

Теперь, когда (x \to \infty), обратим внимание на знаменатель (\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}).

(\sqrt {x^2 +1} \approx x) при больших (x).

(\sqrt {x^2 — 1} \approx x) при больших (x).

Таким образом,

[\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1} \approx x + x = 2x]

Поэтому предел (f (x)) при (x \to \infty):

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = \lim_ {x \to \infty} \frac {2} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}} = \frac {2} {2x} = \frac {1} {x}]

Итак,

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = 0]

Таким образом, предел функции (f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1}) при (x \to \infty) равен (\boxed {0}).

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1}) при (x \to \infty), можно использовать прием разности квадратов, чтобы избежать неопределенности:

[f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1}]

Мы можем умножить и разделить на выражение, которое будет помогать упростить предел:

[f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1} \cdot \frac {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}

Теперь с помощью разности квадратов в числителе:

[f (x) = \frac {(x^2 +1) — (x^2 — 1)} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}]

[f (x) = \frac {1} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}}]

При (x \to \infty), выражение (\sqrt {x^2 +1}) и (\sqrt {x^2 — 1}) приближаются к (x). Таким образом,

[\lim_ {{x \to \infty}} f (x) = \lim_ {{x \to \infty}} \frac {1} {\sqrt {x^2 +1} + \sqrt {x^2 — 1}} = \frac {1} {x + x} = \frac {1} {2x} = 0]

Таким образом, предел функции (f (x) = \sqrt {x^2 +1} — \sqrt {x^2 — 1}) при (x \to \infty) равен (0).

Как видим, с нахождением этого предела у нейросетей проблем не возникало.

4. Найти предел функции f (n) = (1+k/n) ^n при n -> к бесконечности.

МАША

Чтобы найти лимит функции

[f (n) = \left (1 + \frac {k} {n} \right) ^n \quad \text {при} \quad n \to \infty,]

можно воспользоваться известным пределом:

[\lim_ {n \to \infty} \left (1 + \frac {x} {n} \right) ^n = e^x.]

В нашем случае (x = k). Поэтому:

[\lim_ {n \to \infty} f (n) = \lim_ {n \to \infty} \left (1 + \frac {k} {n} \right) ^n = e^k.]

Таким образом, предел функции равен:

[\lim_ {n \to \infty} f (n) = e^k.]

PTutor

Чтобы найти предел функции (f (n) = \left (1 + \frac {k} {n} \right) ^n) при (n \to \infty), мы можем воспользоваться известным пределом экспоненты:

[\lim_ {{n \to \infty}} \left (1 + \frac {k} {n} \right) ^n = e^k]

Этот результат происходит из определения числа (e) и его свойств. При (n \to \infty), выражение (\left (1 + \frac {k} {n} \right) ^n) стремится к (e^k).

Таким образом,

[\lim_ {{n \to \infty}} f (n) = \lim_ {{n \to \infty}} \left (1 + \frac {k} {n} \right) ^n = e^k]

Поэтому? предел функции (f (n) = \left (1 + \frac {k} {n} \right) ^n) при (n \to \infty) равен (e^k).

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела функции f (n) = (1+k/n) ^n при n -> бесконечности, можно воспользоваться известным пределом (1 +1/n) ^n = e, где e — основное число натурального логарифма.

Заметим, что данная функция f (n) очень похожа на предел (1 +1/n) ^n: если принять k = 1, то f (n) будет совпадать с (1 +1/n) ^n, что означает, что при n -> бесконечности предел f (n) также будет стремиться к e.

Следовательно, предел функции f (n) = (1+k/n) ^n при n -> бесконечности равен e.

Данная нейросеть (ChatGPT Online — AI Chat GPT)), при прочих правильных рассуждениях, ответ дала неверный.

Предлагаю, как и в предыдущем случае, для закрепления данного учебного материала рассмотреть решение данного примера традиционными методами:

Вычисление пределов функций, у которых переменная входит и в основание и в показатель степени, опирается, в основном. на второй замечательный предел. Поэтому, необходимо преобразовать данный предел к виду

lim (x-> к бесконечности) (1 +1/x) ^x = e,

В данном случае полагаем n = kx. Когда n стремится к бесконечности, то и x стремится к ней тоже.

И тогда:

lim (n-> к бесконечности) (1 + k/n) ^n = lim (x-> к бесконечности) (1 +1/x) ^xk =

= lim (x-> к бесконечности) [(1 +1/x) ^x] ^ k = [lim (x-> к бесконечности) (1 +1/x) ^x] ^k = e^k.

Ответ: предел функции f (n) = (1+k/n) ^n при n -> бесконечности равен e^k.

5. Найти предел функции f (x) = (1 — 2x) / (3x — 2) при x -> к бесконечности.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для того чтобы найти предел функции f (x) = (1 — 2x) / (3x — 2) при x -> бесконечности, нужно посмотреть на степени в числителе и знаменателе.

Поскольку x уходит в бесконечность, наибольшая степень x в числителе и знаменателе равна, то есть 1x.

Следовательно, чтобы найти предел, нужно поделить коэффициенты при наибольших степенях x в числителе и знаменателе.

В данном случае это -2 / 3.

Поэтому предел функции f (x) = (1 — 2x) / (3x — 2) при x -> бесконечности равен — 2/3.

ChatGPT- 4о — mini (Маша)

Чтобы найти предел функции \ (f (x) = \frac {1 — 2x} {3x — 2} \) при \ (x \to \infty \), можно разделить числитель и знаменатель на \ (x \):

\ [f (x) = \frac {\frac {1} {x} — 2} {3 — \frac {2} {x}} \]

Теперь при \ (x \to \infty \), \ (\frac {1} {x} \) и \ (\frac {2} {x} \) стремятся к 0. Тогда предел будет равен:

\ [\lim_ {x \to \infty} f (x) = \frac {0 — 2} {3 — 0} = \frac {-2} {3} \]

Таким образом, предел функции при \ (x \to \infty \) равен:

\ [\lim_ {x \to \infty} f (x) = -\frac {2} {3} \]

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {1 — 2x} {3x — 2}) при (x \to \infty), мы можем применить метод деления числителя и знаменателя на (x), так как (x \to \infty).

Деление числителя и знаменателя на (x):

[f (x) = \frac {\frac {1} {x} — 2} {3 — \frac {2} {x}}]

Теперь вычислим предел каждой части при (x \to \infty):

Для числителя (\frac {1} {x} — 2):

[\lim_ {x \to \infty} \left (\frac {1} {x} — 2 \right) = 0 — 2 = -2]

Для знаменателя (3 — \frac {2} {x}):

[\lim_ {x \to \infty} \left (3 — \frac {2} {x} \right) = 3 — 0 = 3]

Теперь объединяем результаты:

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = \frac {-2} {3} = -\frac {2} {3}]

Итак, предел функции (f (x) = \frac {1 — 2x} {3x — 2}) при (x \to \infty) равен (\boxed {-\frac {2} {3}}).

Это как раз тот случай, когда все три нейросети справились с данной задачей успешно!

6. Найти предел функции f (x) = x (ln (x + a) — lnx) при x -> к бесконечности.

ChatGPT Online — AI Chat GPT

Для нахождения предела данной функции при x -> бесконечности нужно выразить выражение в скобках в виде единого логарифма и затем применить правило Лопиталя.

f (x) = x* (ln (x + a) — lnx)

Преобразуем выражение в скобках, используя свойство логарифма ln (a) — ln (b) = ln (a/b):

ln ((x + a) / x) = ln (1 + a/x)

Теперь выражение в скобках выглядит как ln (1 + a/x), и предел функции f (x) при x -> бесконечности можно переписать в виде:

lim (x-> ∞) x*ln (1 + a/x)

Теперь применяем правило Лопиталя:

lim (x-> ∞) x*ln (1 + a/x) = lim (x-> ∞) ln (1 + a/x) / (1/x)

Подставляем x = 1/t:

lim (t-> 0) ln (1 + a/ (1/t)) / t = lim (t-> 0) ln (1 + at) / t

И снова применяем правило Лопиталя:

lim (t-> 0) ln (1 + at) / t = lim (t-> 0) a / (1 + at) = a

Таким образом, предел функции f (x) = x* (ln (x + a) — lnx) при x -> бесконечности равен a.

ChatGPT- 4о — mini (Маша)

Чтобы найти предел функции \ (f (x) = x (\ln (x + a) — \ln x) \) при \ (x \to \infty \), используем свойство логарифмов:

\ [\ln (x + a) — \ln x = \ln\left (\frac {x + a} {x} \right) = \ln\left (1 + \frac {a} {x} \right) \]

Теперь подставим это в функцию:

\ [f (x) = x \ln\left (1 + \frac {a} {x} \right) \]

При \ (x \to \infty \), \ (\frac {a} {x} \) стремится к 0. Воспользуемся разложением логарифма \ (\ln (1 + y) \approx y \) при \ (y \to 0 \):

\ [\ln\left (1 + \frac {a} {x} \right) \approx \frac {a} {x} \]

Тогда функция примет следующий вид:

\ [f (x) \approx x \cdot \frac {a} {x} = a\]

Таким образом, предел функции при \ (x \to \infty \) равен:

\ [\lim_ {x \to \infty} f (x) = a\]

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = x (\ln (x + a) — \ln x)) при (x \to \infty), начнем с упрощения выражения в скобках:

[\ln (x + a) — \ln x = \ln \left (\frac {x + a} {x} \right) = \ln \left (1 + \frac {a} {x} \right)]

Теперь подставляем это обратно в исходную функцию:

[f (x) = x \ln \left (1 + \frac {a} {x} \right)]

Для нахождения предела при (x \to \infty), рассмотрим выражение (\ln \left (1 + \frac {a} {x} \right)). При (x \to \infty), (\frac {a} {x} \to 0), поэтому (\ln \left (1 + \frac {a} {x} \right) \approx \frac {a} {x}).

Теперь вычислим предел (f (x)):

[\lim_ {x \to \infty} f (x) = \lim_ {x \to \infty} x \ln \left (1 + \frac {a} {x} \right) = \lim_ {x \to \infty} x \cdot \frac {a} {x} = \lim_ {x \to \infty} a = a]

Итак, предел функции (f (x) = x (\ln (x + a) — \ln x)) при (x \to \infty) равен (\boxed {a}).

А теперь они и еще повысили свой рейтинг.

Справочные материалы

1.Замечательные пределы.

Что думают по этому поводу наши нейросети?

МАША

В теории пределов существует несколько замечательных пределов, которые широко используются в математике, особенно в анализе. Вот некоторые из них:

Предел при стремлении к бесконечности: [\lim_ {x \to \infty} \frac {1} {x} = 0] Этот предел показывает, что при увеличении (x) значение функции (\frac {1} {x}) стремится к нулю.

Предел синуса: [\lim_ {x \to 0} \frac {\sin (x)} {x} = 1] Один из самых важных пределов, который используется в анализе и дифференцировании.

Предел экспоненты: [\lim_ {x \to 0} \frac {e^x — 1} {x} = 1] Это значение связано с производной функции экспоненты в нуле.

Пределы последовательностей: [\lim_ {n \to \infty} \left (1 + \frac {1} {n} \right) ^n = e] Предел, который определяет основание натурального логарифма (e).

Лемма об известном пределе: [\lim_ {x \to 0} \frac {e^x — 1} {x} = 1] Также важен для понимания поведения экспоненциальной функции.

Эти пределы образуют основу для более сложных концепций в математическом анализе и применяются в различных областях науки и техники.

GPTutor

В теории пределов существует несколько замечательных пределов, которые часто используются для упрощения вычислений и анализа функций. Вот некоторые из них:

1.Предел суммы:

Lim𝑛→∞∑𝑘=1𝑛1𝑘𝑝=𝜁 (𝑝),

где (\zeta (p)) — функция Римана, для (p> 1).

2.Предел геометрической прогрессии:

lim𝑛→∞ (1+𝑥𝑛) 𝑛=𝑒𝑥,

где (e) — основание натурального логарифма.

3.Предел функции к самой себе:

lim𝑥→0sin𝑥𝑥=1.

4.Предел экспоненты в комплексной плоскости:

lim𝑥→0 (1+𝑖𝑥𝑛) 𝑛=𝑒𝑖𝑥.

Эти пределы играют ключевую роль в анализе и математических приложениях, обеспечивая базовую основу для понимания поведения функций и последовательностей.

Такое название получили следующие 5 пределов:

1) замечательный тригонометрический (первый замечательный) предел;

2) замечательный показательно-степенной (второй замечательный) предел;

3) замечательный логарифмический предел;

4) замечательный показательный предел;

5) замечательный степенной предел.

Эти замечательные пределы являются основой для более сложных вычислений и асимптотического анализа функций в математическом анализе.

В настоящем разделе в качестве замечательных пределов выбраны пять. Они были особенно популярны при решении математических задач и примеров в ходе занятий по высшей математике со студентами СПбГУКИ.

I. lim (n -> r бесконечности) (1 +1/n) ^n = e, или lim (x -> r бесконечности) (1 +1/x) ^x = e, или lim (у -> 0) (1 +y) ^ (1/y) = e.

II. lim (x -> 0) sinx/x = 1.

III. lim (x -> 0) ln (1 +x) /x = 1.

IV. lim (x -> 0) (a^x — 1) /x = lna или, при a = e, lim (x -> 0) (e^x — 1) /x =1.

V. lim (x -> 0) ((1+x) ^k — 1/x) /x = k, где k — любое вещественное число.

2.Алгебра.

2.1. Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:

(a + b) ^2 = a^2 +2ab +b^2

(a — b) ^2 = a^2 — 2ab +b^2

(a + b) ^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3

(a — b) ^3 = a^3 — 3a^2b +3ab^2 — b^3

a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 — ab +b^2)

a^3 — b^3 = (a — b) (a^2 — ab +b^2)

ax^2 + bx + c =a (x — x1) (x — x2), где x1 и x2 — корни уравнения ax^2 + bx + c.

2.2. Степени и корни.

Для любых натуральных p и q;

(a^p) * (a^q) = a^ (p+q); a^p/a^q = a^ (p — q) a =/ 0;

(a^p) ^q = a^ (pq); a^p/b^p = (a/b) ^p b =/ 0;

(a^p) * (a^p) = (ab) ^p; a^0 = 1 a =/ 0;

a^ (- p) = 1/a^p a =/ 0; a^ (1/p) = корень степени р от a;

(a^p) ^ (1/q) = a^ (p/q); [a^ (1/q)] ^ (1/p) = a^ (1/pq);

(ab) ^1/p = (a^1/p) * (b^1/p); (a/b) ^1/p = (a^1/p) / (b^1/p) b =/ 0.

2.3. Квадратные уравнения.

ax^2 + bx + c, a =/ 0, где x1 и x2 — корни этого уравнения, могут быть определены с помощью:

x1, 2 = (- b + — D^1/2) /2a, где D = b^2- 4ac;

если D> 0, то x1=/x2;

если D = 0, то x1=x2;

если D <0, то корней нет.

Теорема Виета:

x1+ x2 = — b/a; x1*x2 = c/a

Приведенное квадратное уравнение:

x^2 + px + q = 0

x1+ x2 = — p; x1*x2 = q

Если p =2k (p — четное), то x1, 2 = — k +- (k*2 — q) ^1/2

2.4. Логарифмы.

Если log a от (x) =b, то a^b = x (a> 0, a =/ 1,x> 0);

a^ (log a от (x)) = x; log a от (a) = 1; log a от (1) = 0; log a от (b) =1/ log b от (a);

log a от (x*y) = log a от (x) + log a от (y); log a от (x/y) = log a от (x) — log a от (y);

log a от (x^k) = klog a от (x); log a^k от (x) = (1/k) log a от (x)

Замена основания:

log a от (x) = log c от (x) / log c от (a), c> 0 и c=/1

2.5. Прогрессии.

Арифметическая

a (от n членов прогрессии) = a (n — 1) +d; 2a (n) = a (n — 1) + a (n — 2); a (n) = a1 +d (n — 1);

Cумма n членов арифметической прогрессии:

S (n) = n/2* (a1 + an)

Геометрическая

b (n) (n — 1) *q, q=/1; b (n) = b1*q^ (n — 1); [b (n)] ^2 = b (n — 1) * b (n +1)

Cумма n членов геометрической прогрессии:

S (n) = b1* (1 — q^n) / (1 — q)

Cумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = b1/ (1 — q)

2.6.Тригонометрия.

Основные тригонометрические тождества:

(sin B) ^2 + (cos B) ^2 = 1

tg B = sin B/ cos B; ctg B = cos B/ sin B; sec B =1/ cos B; cosec B =1/ sin B;

tg B*ctg B = 1; 1 + (tg B) ^2 = 1/ (cos B) ^2; 1 + (ctg B) ^2 = 1/ (sin B) ^2

Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций:

sin (B + Z) = sinB*cosZ + sinZ*cosB

sin (B — Z) = sinB*cosZ — sinZ*cosB

cos (B + Z) = cosB*cosZ — sinZ*sinB

cos (B — Z) = cosB*cosZ + sinZ*sinB

tg (B + Z) = (tgB + tgZ) / (1 — tgB*tgZ)

tg (B — Z) = (tgB — tgZ) / (1 + tgB*tgZ)

Четность и нечетность тригонометрических функций:

sin (- B) = — sinB; cos (- B) = cosB; tg (- B) = — tgB; ctg (- B) = — ctgB; sec (- B) = secB; cosec (- B) = — cosecB

Формулы двойного аргумента:

sin2B = 2sinB cosB;

cos2B = (cosB) ^2 — (sinB) ^2 = 2 (cosB) ^2 — 1 =1 — 2 (sinB) ^2

(sinB) ^2 = (1 — cos2B) /2

(cosB) ^2 = (1 + cos2B) /2

tg2B = 2tgB/ [1 — (tgB) ^2]

Формулы половинного аргумента:

[sin (B/2)] ^2 = (1 — cosB) /2; [cos (B/2)] ^2 = (1 + cosB) /2;

[tg (B/2)] ^2 = (1 — cosB) / (1 + cosB); [ctg (B/2)] ^2 = (1 + cosB) / (1 — cosB);

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

sinB*cosZ = [sin (B +Z) + sin (B -Z)] /2; cosB*cosZ = [cos (B +Z) + cos (B -Z)] /2;

sinB*sinZ = [cos (B — Z) — cos (B -Z)] /2;

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sinB + sinZ = 2 sin [(B +Z) /2] *cos [(B — Z) /2]; sinB — sinZ = 2 sin [(B — Z) /2] * cos [(B — Z) /2];

cosB + cosZ = 2 cos [(B +Z) /2] *cos [(B — Z) /2]; cosB — cosZ = — 2 sin [(B +Z) /2] *sin [(B — Z) /2];

tgB + tg Z = sin (B +Z) / (cosB*cosZ); tgB — tg Z = sin (B — Z) / (cosB*cosZ);

ctgB + ctg Z = sin (B +Z) / (sinB*sinZ); ctgB — ctg Z = sin (Z — B) / (sinB*sinZ);

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла:

sinB = 2 tg (B/2) / {1 + [tg (B/2)] ^2}; cosB = {1 — [tg (B/2)] ^2} / {1 + [tg (B/2)] ^2};

tgB = 2 tg (B/2) / {1 — [tg (B/2)] ^2}; ctgB = {1 — [tg (B/2)] ^2} /2tg (B/2)

Производная и нейросети

1. Дадим аргументу Х0 приращение ∆x (см. рис.1): тогда x = Х0 + ∆x.

2. И функция y получит приращение ∆ у и новое значение

у + ∆ у = f (x0 + ∆x).

3. Найдем приращение аргумента и приращение функции:

∆x = x — Х0 и ∆ у = f (x0+∆x) — f (x0).

4. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента (выражение 1):

5. Перейдем к пределу выражения 1:

6. Если существует предел отношения 2 при ∆x стремящемся к нулю, то

его называют производной данной функции y = f (x) и обозначают:

y’, dy/dx, f’ (x).

Таким образом,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производной данной функции y = f (x) при данном значении аргумента х0 называется предел отношения приращения функции ∆ у к приращению аргумента ∆x, когда ∆x произвольным образом стремится к нулю.

Если такого предела не существует, то данная функция в точке х0 производной не имеет. В том случае, когда предел равен, говорят, что существует бесконечная производная.

Если функция у = f (х) имеет конечную производную в точке x0, то говорят, что она дифференцируема в точке x0.

Нахождение производной такой функции называется дифференцированием.

Геометрический и физический смыслы производной

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 (см. рис.2) равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла α), проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0