Бесплатный фрагмент - 100 задач с числом года

Предисловие

Мысль аккумулировать все возможные задачи, в которых можно было бы использовать число, обозначающее текущий календарный год, формировалась долго.

К слову, идея использовать в математических задачах число года далеко не нова: практически во всех олимпиадных материалах такие задачи встречаются. Да и в не олимпиадных тоже.

Яркий пример — устное решение квадратных уравнений с суммой коэффициентов равной нулю: 2023x2 — x — 2022 = 0.

Знакомо, правда?

Профессиональный опыт регулярно «подкидывал» задачи, в которых вроде бы и нет числа года, но есть потенциальная возможность его включить.

Потом случился «Математический календарь». Сначала в электронно-бумажной версии. Потом — как контент паблика «Математические лайфхаки».

И вот постепенно, разрабатывая тематику постов, «гуляя» по дружественным задачно-математическим сообществам, в 2022 году был реализован масштабный челлендж «Математические каникулы» (зимние, весенние и летние): каждый день на стене публиковались разнообразные задачи, главным «участником» которых было число 2022.

Материал копился на бумажных листочках, клочках и обрывках. Возникла необходимость их «окультуривания».

Не скрою, что в первую очередь публикация собранных материалов «задачи с числом года» это стремление упростить жизнь себе. Но вдруг кому-нибудь это тоже пригодится?

В процессе попыток систематизации задач проявились некоторые нюансы, с которыми пришлось считаться.

Например, не все задачи универсальны, если можно так сказать. Есть такие, решение которых совсем не зависит от того, какое число года в нём фигурирует. В других же свойство числа (чётность/нечётность, простое/составное,  кратность/остаток, набор цифр и т.д.) напрямую влияет как на формулировку условия, так и на ход решения.

В результате весь материал был разбит на три блока:

— часть I «Задачи со стандартным условием и универсальным способом решения»;

— часть II «Задачи с вариативным условием и/или меняющимся алгоритмом решения»;

— часть III «Задачи с уникальным условием и/или неалгоритмичным способом решения».

По мере работы количество собранных, придуманных и переформулированных задач увеличивалось.

И, видимо, будет продолжать увеличиваться. «Волшебству, как известно, стоит только начаться»…

От замысла сделать одну книгу пришлось отказаться.

Зато нашёлся другой, вполне жизнеспособный, вариант: делать регулярные публикации. Вот так и получилось, что данная книга содержит только стандартные задачи. Чтобы как-то соригинальничать, было принято решение ограничить количество задач. Так возник подзаголовок «Часть 1. Выпуск 1». Далее будут «Часть 2. Выпуск 1», «Часть 3. Выпуск 1», «Часть 1. Выпуск 2»…

Не надо думать, что все задачи, которые планируется публиковать, придуманы автором, хотя такие есть.

И уж простите, но конкретных ссылок на все многочисленные источники (книги, периодика, паблики в ВК и проч.) в которых были найдены задачи или идеи для них, не будет.

Во-первых, это трудно, а иногда невозможно: источники эти весьма многочисленны, а некоторые уже и забыты.

Во-вторых, некоторые задачи — это уже «общественное достояние». Элементарная математика «накопила» огромное количество интересных задач.

В-третьих, в своё оправдание скажу, что даже в таких известных книгах как «Математическая смекалка» Б.А.Кордемского, «В царстве смекалки» Е.И.Игнатьева и «По следам Пифагора» Щ.Еленьского встречаются одинаковые или очень похожие задачи без всяких ссылок.

Полагаю (возможно, ошибочно), что придумать абсолютно новую задачу сейчас очень трудно. «Ни что не ново под луной» — всё где-нибудь когда-нибудь встречалось. Поэтому создатели современных сборников задач являются скорее их составителями, но при этом, безусловно, они авторы оригинальных концепций подачи этих самых задач.

Отсутствие ссылок на первоисточники не означает отсутствие благодарности им со стороны автора за всю информацию, полученную на протяжении жизни и, в особенности, за последние лет пять. А также хочу выразить признательность коллегам по социальной сети ВКонтакте и своим подписчикам.

Все задачи формулируются в общем виде. Это продиктовано желанием упростить в будущем конструирование условий не только для числа текущего года, но и для грядущих лет.

Но для каждой задачи обязательно приводится пример для конкретного числа года (2023).

Иногда решение задачи в общих обозначениях даже очевиднее, чем для конкретного числового её воплощения. В некоторых случаях наоборот.

Условимся о некоторых нюансах.

1. Всегда будет подразумеваться, что разговор идёт в рамках десятичной системы счисления.

2. Все сто задач разбиты на группы по требованию: задачи на вычисления, на доказательство, решение уравнений и т. д. При этом в рамках одной группы тоже есть некоторая упорядоченность, но она не имеет большого значения, чтобы об этом стоило говорить.

3. Задачи не упорядочены по трудности — задача, которую можно решить устно, и задача, требующая письменных трудоёмких выкладок, могут стоять рядом; есть те, о способе решения которых догадаться нетрудно, а есть задачи на «подумать».

4. Задачи не упорядочены по школьной программе: по условию может показаться, что задача из 7-го класса, а по методу решения она оказывается из 11-го.

5. Ответом вычислительных задач может быть не число, а числовое выражение, если результат содержит огромное количество цифр или требует изнурительных вычислений.

Основные обозначения в рамках этой книги:

N — число года (2023, 2024, 2025…)

a — цифра десятков числа года

(в текущем десятилетии это «2»)

b — цифра единиц числа года (в 2023 году это «3»)

(10a + b) — двузначное число, образованное двумя последними цифрами числа года (в 2023 году это «23»)

m/n — дробь с числителем m и знаменателем n

n! — факториал натурального числа (произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n)

Если у читателей будут возникать замечания (о найденных опечатках или — о ужас! — ошибках), то прислать их можно по ссылке: https://vk.me/metodikamatematiki312

Часть I.

ЗАДАЧИ
СО СТАНДАРТНЫМ УСЛОВИЕМ
И 
УНИВЕРСАЛЬНЫМ
СПОСОБОМ РЕШЕНИЯ

Числовые выражения

Найдите значение предложенных числовых выражений

1. N 2 — (N — 1) 2.

Например, 20232 — 20222.

2. (100010001 × N) × (N — 1) — (100010001 × (N — 1)) × N.

Например, 202320232023 ∙ 2022 — 202220222022 ∙ 2023.

3. N lg (N — 1) — (N — 1)lg N.

Например, 2023lg 2022 — 2022lg 2023.

4. logN logN N.

Например, log2023log20232023.

Найдите сумму чисел

5. 1 +2 +3 + … + N.

Например, 1 +2 +3 + … +2023.

6. N + (N — 1) + … +2 +1.

Например, 2023 +2022 + … +2 +1.

7. 1 +2x +3x2 + … + NxN — 1 для x = 2.

Например, 1 +2 ∙ 2 +3 ∙ 22 + … +2023 ∙ 22022.

8. 2 ∙ 20 +3 ∙ 21 +4 ∙ 22 +5 ∙ 23 + … + N ∙ 2N —2 + (N +1) ∙ 2N — 1.

Например, 2 ∙ 20 +3 ∙ 21 +4 ∙ 22 +5 ∙ 23 + … +2024 ∙ 22022.

9. 12 ∙31 +22 ∙ 32 +32 ∙ 33 +42 ∙ 34 + … + N2 ∙ 3N.

Например, 12 ∙31 +22 ∙ 32 +32 ∙ 33 +42 ∙ 34 + … +20232 ∙ 32023.

10. 1∙1! +2∙2! +3∙3! + … + N ∙ N!.

Например, 1 ∙ 1! +2 ∙ 2! +3 ∙ 3! + … +2022 ∙ 2022!.

Разные задания на вычисление

11. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна N (например, 2023). Найдите уменьшаемое.

12. Среднее арифметическое (N — 1) чисел равно (N — 2), а среднее арифметическое других N чисел равно (N — 1). Найдите среднее арифметическое всех чисел.

Например, среднее арифметическое двух тысяч двадцати двух чисел равно 2021, а среднее арифметическое других двух тысяч двадцати трёх чисел равно 2022. Найдите среднее арифметическое всех чисел.

13. Известно, что p <1 и (1 + p) (1 + p2) (1 + p4) … = N.

Например, (1 + p) (1 + p2) (1 + p4) (1 + p8) … = 2023.

Найдите p.

14. Дана числовая последовательность, для которой известно, что x1 = x2 = 2, x3 = 8 и для любого натурального n выполняется xn+3 + xn+1 = 2xn+2 +2xn. Найдите xN (x2023).

15. Вычислите число p, если

log23 ∙ log34 ∙ … ∙ logp (p +1) = N.

Например, log23 ∙ log34 ∙ … ∙ logp (p +1) = 2023.

16. Какой коэффициент будет стоять при степени xN–1, в многочлене (1 + x) N?

Например, определить коэффициент при x2022 в выражении (1 + x) 2023.

17. На плоскости даны N (2023) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых, проходящих через эти точки, можно построить?

18. Сколько диагоналей имеет выпуклый N-угольник (например, 2023-угольник)?

19. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) две ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу?

20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) ладьи в количестве N (2023) штук так, чтобы они не угрожали друг другу?

Сравнение чисел

Сравните предложенные числа

21. (10000N + (N — 1)) × (10000N + (N +1)) и (10001N) 2.

Например, 20232022 ∙ 20232024 и 202320232.

22. N N +1 и (N +1) N.

Например, 20232024 и 20242023.

23. N N и (N +1) N — 1.

Например, 20232023 и 20242022.

24. N N и (N — 1) N +1.

Например, 20232023 и 20222024.

25. ((N — 1) N — 1 + N N) и ((N — 1) N + N N — 1).

Например, (20222022 +20232023) и (20222023 +20232022).

26. (N N +1 + (N +1) N) и (N N + (N +1) N +1).

Например, (20232024 +20242023) и (20232023 +20242024).

27. ((N — 1) N — 1 × N N) и ((N — 1) N × N N — 1).

Например, (20222022 ∙ 20232023) и (20222023 ∙ 20232022).

28. (N!) 2 и (N 2)!. Например, (2023!) 2 и (20232)!.

29. 2lg (N + (N +1)) и lgN + lg (N +1).

Например, 2lg (2023 +2024) и (lg2023 + lg2024).

30. logN — 1N 2 и logN +1 (N 2 — 1).

Например, log 202220232 и log2024 (20232 — 1).

Уравнения

31–42. Решить квадратные уравнения, коэффициенты которых являются «удобными» комбинациями чисел ± 1; ± (N — 1); ± N, то есть, чтобы либо сумма коэффициентов была равна нулю, либо сумма первого и третьего была равна второму.

Например,

31) 2023x2 — 2022x — 1 = 0;

32) 2023x2 +2022x — 1 = 0;

33) 2023x2 + x — 2022 = 0;

34) 2023x2 — x — 2022 = 0;

35) 2022x2 — 2023x +1 = 0;

36) 2022x2 +2023x +1 = 0;

37) 2022x2 + x — 2023 = 0;

38) 2022x2 — x — 2023 = 0;

39) x2 — 2023x +2022 = 0;

40) x2 +2023x +2022 = 0;

41) x2 — 2022x — 2023 = 0;

42) x2 +2022x — 2023 = 0.

Решите уравнения

43. (x + N — 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 2.

Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 2.

44. (x + N — 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 3.

Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 3.

45. (x + N — 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 4.

Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 4.

46. (x + N — 1) 2 + (x + N) 3 + (x + N +1) 2 = 2.

Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 3 + (x +2024) 2 = 2.

47. (x + N — 1) 2 + (x + N) 3 + (x + N +1) 2 = 5.

Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 3 + (x +2024) 2 = 5.

48. (x + N — 1) 2 + (x + N) 3 + (x + N +1) 4 = 2.

Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 3 + (x +2024) 4 = 2.

49. (x2 + x +1) + (x2 +2x +3) + … + (x2 + Nx + (2N — 1)) = 3N.

Например, (x2 + x +1) + … + (x2 +2023x +2022) = 6069.

50. N x + N 2x = N 3x.

Например, 2023 x +2023 2x = 2023 3x.

Задачи на доказательство

51. Докажите, что среди любых N натуральных чисел найдутся два, разность которых будет кратна (N — 1).

Например, что среди любых 2023 чисел есть два числа, разность которых кратна 2022.

52. Докажите, что среди любых N (2023) натуральных чисел, не кратных N (2023), найдётся два числа, разность которых будет кратна N (2023).

53. Докажите, что число

N 4 — 20N 2 +4 (например, 20234 — 20 ∙ 20232 +4)

не является простым.

54. Докажите, что выражение

(N — 1) 2 + (N — 1) 2 ∙ N 2 + N 2

является точным квадратом.

Например, что выражение 20222 +20222 ∙ 20232 +20232 — точный квадрат.

55. Докажите, что число

(N — 3) (N — 2) (N — 1) N +1

является точным квадратом.

Например, 2020 ∙ 2021 ∙ 2022 ∙ 2023 +1.

56. Докажите, что число

(N — 6) (N — 4) (N — 2) N +16

является точным квадратом.

Например, 2017 ∙ 2019 ∙ 2021 ∙ 2023 +16.

57. Докажите, что число

N 2 + (N — 2) (N — 1) (N +1) (N +2)

является точным квадратом.

Например, 20232 +2021 ∙ 2022 ∙ 2024 ∙ 2025.

58. Докажите, что число

(N — 3) (N — 2) (N — 1) (N +1) (N +2) (N +3) +36

является точным квадратом.

Например, число

2020 ∙ 2021 ∙ 2022 ∙ 2024 ∙ 2025 ∙ 2026 +36.

59. Докажите, что уравнения

x2 + Nkx + m = 0  и  x2 + Nmx + k = 0 (k ≠ m)

имеют общий корень. Найдите этот корень.

Например, уравнения

x2 +2023kx + m = 0  и  x2 +2023mx + k = 0.

60. Даны три числа k, m, n. Ни одно из них не равно нулю. При этом числа k (m — n), m (n — k), n (k — m) в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Докажите, что арифметическую прогрессию будут образовывать также числа k (mN — nN), m (nN — kN), n (kN — mN).

Например, числа

k (m2023– n2023), m (n2023 — k2023), n (k2023– m2023).

Задачи на исследование

61. Какой цифрой оканчивается сумма 1 +2 +3 + … + N?

Например, 1 +2 +3 + … +2023.

62. Какой цифрой оканчивается произведение

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ N?

Например, 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2023.

63. Сколькими нулями оканчивается число N! (2023!)?

64. Записаны все натуральные числа от 1 до N (2023) без пробелов. Сколько цифр содержит это многозначное число?

65. Дана последовательность: 123412341234… Какая цифра стоит на N-м (2023-м) месте?

66. Будет ли число N N — 1 + N N +1 простым?

Например, число 20232022 +20232024 простое или составное?

67. Существует ли число, у которого сумма цифр равна N (2023)? Если да, то будет ли оно единственным? Если нет, то найдите наименьшее. Будет ли количество таких чисел бесконечным? Если нет, то найдите наибольшее.

68. Существует ли число, в записи которого нет нулей и сумма цифр равна N (2023)? Если да, то будет ли оно единственным? Если нет, то найдите наименьшее. Будет ли количество таких чисел бесконечным? Если нет, то найдите наибольшее.

69. Записаны числа от 1 до N (2023). Затем каждое число заменяется суммой его цифр. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останутся только однозначные числа.

Что за последовательность получится в итоге?

70. Будет ли разность числа N (2023) и суммы его цифр нацело делиться на 9?

71. Делится ли число 10N +8 (например, 102023 +8) на 9?

72. Дано N (2023) натуральных чисел. Среди этих чисел, по крайней мере, одно чётное. Сумма любых двух из этих чисел является чётной.

Сколько чётных чисел среди этих N (2023)?

73. Верно ли, что число вида N 5 +4N кратно 5?

Например, число 20235 +4 ∙ 2023.

74. Сумма двух целых чисел x и y равна (N — 1). Может ли выполняться равенство 17x +13y = N? Например, x + y = 2022, может ли быть такое, что 17x +13y = 2023?

75. В ящике N (2023) белых шаров и N — 1 (2022) чёрных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из ящика не глядя, чтобы было, как минимум, два шара одного цвета.